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广义坐标与约束分类

• 自由度与广义坐标：对$N$质点，笛卡尔坐标自由度为$3N$；约束独立方程数为$s$，则自由度$f=3N-s$。选取$f$个独立广义坐标$\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{f})$描述构形。

• 约束类型

1. 几何约束（定常/时间相关）：方程$\phi _{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=0$，若不显含时间为定常约束。
2. 完整与非完整：若约束可写为等式$\phi _{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=0$（可积分到构形空间子流形）为完整；若为不可积微分形式如$\sum a_{i}(\mathbf {r} ,t)\,dr_{i}=0$为非完整。
3. 纯滚动约束：为典型非完整约束，约束在速度层面。

• 速度与加速度的映射：${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {J} (\mathbf {q} ,t)\,{\dot {\mathbf {q} }}$，其中$\mathbf {J}$为雅可比；加速度${\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {J} \,{\ddot {\mathbf {q} }}+{\dot {\mathbf {J} }}\,{\dot {\mathbf {q} }}$。

• 广义速度与广义力：广义速度${\dot {\mathbf {q} }}$定义于切空间；广义力通过虚功$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j}Q_{j}\,\delta q_{j}$得到$Q_{j}$。

• 选择坐标的原则：独立、覆盖可达构形、避免奇异；利用对称性与约束直接消元，优先选择角度、长度等天然参数。

练习

1. 一刚体在平面内纯滚动，选取质心坐标$(x,y)$与姿态角$\theta$为广义坐标，写出速度约束并判定是否完整。
2. 两摆连结为双摆，写出广义坐标$(\theta _{1},\theta _{2})$与末端位置$\mathbf {r} _{2}(\theta _{1},\theta _{2})$的表达式。