经典力学/循环坐标与第一积分

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循环坐标与第一积分

• 循环坐标定义：若$L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$不显含某坐标$q_{k}$，称$q_{k}$为循环坐标；对应的广义动量$p_{k}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$守恒。

• 能量第一积分：若$L$不显含时间$t$，则哈密顿量$H=\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L$守恒，等于机械能（保守系统）。

• 对称与守恒：诺特定理关联连续对称与守恒量；空间平移对应动量守恒，旋转对应角动量守恒，时间平移对应能量守恒。

• 例：中心力问题中极角为循环坐标，角动量$p_{\phi }=L_{z}$守恒；径向有效势分析可化简问题维度。

• 坐标策略：优先选择使$L$简洁且引入循环坐标的参数化，以便直接读出守恒量并降维。

练习

1. 在中心力$U(r)$中，用极坐标写$L$并证明$\phi$为循环坐标与$p_{\phi }$守恒。
2. 对双摆，讨论何种近似或边界情形下可出现近似循环坐标并给出相应的近似守恒量。