经典力学/极坐标与自然标架

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经典力学/极坐标与自然标架

平面极坐标（二维）

在平面内用极坐标 $(r,\theta )$ 描述位置。引入单位矢量 $\mathbf {e} _{r}$（径向，指向原点外侧）与 $\mathbf {e} _{\theta }$（切向，沿极角增大的方向）。位置矢量为 $\mathbf {r} =r\,\mathbf {e} _{r}.$

单位矢量随时间的变化为 ${\dot {\mathbf {e} }}_{r}={\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{\theta },\qquad {\dot {\mathbf {e} }}_{\theta }=-{\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{r}.$

据此得到

1. 速度： $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}\,\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{\theta }.$

2. 加速度： $\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})\,\mathbf {e} _{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }})\,\mathbf {e} _{\theta }.$

说明：

1. 径向分量中的 $-r{\dot {\theta }}^{2}$ 为向心项，方向指向原点。

2. 切向分量中的 $2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}$ 来自径向变化与转动的耦合。

自然标架（三维）

令空间曲线以弧长 $s$ 参数化，位置 $\mathbf {r} (s)$。自然（Frenet）标架定义为：

1. 单位切向量：$\mathbf {T} ={\dfrac {d\mathbf {r} }{ds}}.$

2. 单位法向量：$\mathbf {N} ={\dfrac {d\mathbf {T} /ds}{\|d\mathbf {T} /ds\|}}.$

3. 单位副法向量：$\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .$

曲率 $\kappa$ 与挠率 $\tau$ 满足 Frenet–Serret 方程：

${\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \,\mathbf {N}$

${\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}=-\kappa \,\mathbf {T} +\tau \,\mathbf {B}$

${\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}=-\tau \,\mathbf {N}$

若沿曲线的速率 $v={\dfrac {ds}{dt}}$，则

1. 速度： $\mathbf {v} ={\dfrac {d\mathbf {r} }{dt}}=v\,\mathbf {T} .$

2. 加速度： $\mathbf {a} ={\dfrac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {v}}\,\mathbf {T} +v^{2}\kappa \,\mathbf {N} .$

说明：

1. 切向加速度 ${\dot {v}}$ 改变速率大小。

2. 法向加速度 $v^{2}\kappa$ 决定弯曲程度与指向，沿 $\mathbf {N}$ 指向曲率中心。

3. 挠率 $\tau$ 描述曲线脱离密切平面的扭转，但不直接出现在加速度分解中。

平面情形下的联系与换算

当运动限制在同一平面内，并以极坐标 $(r,\theta )$ 描述时：

1. 速率： $v={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\theta }})^{2}}}.$

2. 法向加速度与曲率关系： $\mathbf {a} \cdot \mathbf {N} =v^{2}\kappa .$ 实际计算中，常先由极坐标分量得到 $\mathbf {v}$ 与 $\mathbf {a}$，再投影到法向以求 $\kappa$。

典型例子

1. 匀角速度圆周运动：$r=R$ 常数，${\dot {\theta }}=\omega$ 常数。

• 速度：$\mathbf {v} =R\omega \,\mathbf {e} _{\theta }.$
• 加速度：$\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,\mathbf {e} _{r}.$
• 曲率：$\kappa =1/R$；法向加速度：$v^{2}\kappa =(R\omega )^{2}\cdot (1/R)=R\omega ^{2}$，与分量表达一致。

2. 阿基米德螺线：$r=a\theta$。 ${\dot {r}}=a{\dot {\theta }}$，速率 $v={\sqrt {(a{\dot {\theta }})^{2}+(a\theta {\dot {\theta }})^{2}}}=a|{\dot {\theta }}|{\sqrt {1+\theta ^{2}}}.$

将 ${\dot {r}},\,{\ddot {r}},\,{\dot {\theta }},\,{\ddot {\theta }}$ 代入极坐标加速度分量表达式，可分析曲率随 $\theta$ 的变化趋势。