经典力学/欧拉方程与对称陀螺

本教程教授为经典力学中推导并应用欧拉方程（Euler equations）以分析对称陀螺的转动动力学的方法。

前置知识

刚体力学与转动惯量的概念（主轴、主惯量）
刚体角速度与欧拉角关系
能量与角动量的基本定义

欧拉方程的背景

欧拉方程刻画刚体绕质心转动的角动量变化规律，形式为对刚体本体坐标系（主轴）书写的动力学方程。对刚体在无外力矩的自由转动，欧拉方程可用于描述角速度分量的耦合演化，对应到对称陀螺（两个主惯量相等的刚体）时将显著简化，便于求解进动与章动特性。参见刚体动力学与陀螺仪以了解相关背景。

电脑端

明确主轴与主惯量

选取固定在刚体上的本体坐标系，使惯量张量在该系为对角形式。对称陀螺满足 $I_{1}=I_{2}\neq I_{3}$ 。其中 $I_{1},I_{2},I_{3}$ 为关于主轴的主惯量。

大型船用稳定陀螺的历史照片（工程应用背景）

写出欧拉方程

在主轴系中，刚体角速度分量记为 $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ ，角动量分量为 $L_{i}=I_{i}\,\omega _{i}$ 。欧拉方程为 ${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\,\omega _{2}\,\omega _{3}+\tau _{1},\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\,\omega _{3}\,\omega _{1}+\tau _{2},\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\,\omega _{1}\,\omega _{2}+\tau _{3},\end{aligned}}$ 其中 ${\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$ 是外力矩在主轴系的分量。无外力矩时 ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {0}$ 。

点击确认主惯量，即可得到欧拉方程的主轴形式。

对称陀螺的简化

对称陀螺条件 $I_{1}=I_{2}$ 代入欧拉方程，得到 ${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{1}-I_{3})\,\omega _{2}\,\omega _{3}+\tau _{1},\\I_{1}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\,\omega _{3}\,\omega _{1}+\tau _{2},\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=\tau _{3}.\end{aligned}}$ 在无外力矩情况下， $\omega _{3}$ 为常量， $\omega _{1},\omega _{2}$ 构成耦合的简谐形式，体现陀螺围绕对称轴的稳定自旋与横向分量的进动行为。参见进动与章动以理解相关运动模式。

能量与角动量守恒

无外力矩时，刚体的动能 $T={\tfrac {1}{2}}\,(I_{1}(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2})+I_{3}\omega _{3}^{2})$ 与角动量 $\mathbf {L} =(I_{1}\omega _{1},I_{1}\omega _{2},I_{3}\omega _{3})$ 在空间中守恒（方向与大小取决于初始条件）。这导致了经典的自由对称陀螺解： $\omega _{3}={\text{常数}}$ ，而 $\omega _{1},\omega _{2}$ 以固定频率围绕零做旋转，从而产生稳定的进动。

欧拉角描述

使用欧拉角 $\phi ,\theta ,\psi$ 描述刚体姿态，陀螺的总角速度可写为欧拉角的线性组合。对于对称陀螺在重力场下的稳态进动，常见近似条件下可得到 ${\dot {\phi }}\approx {\frac {L_{z}}{I_{1}\sin ^{2}\theta }},\quad {\dot {\psi }}\approx \omega _{3}$ ，其中 $L_{z}$ 是关于空间固定竖直轴的角动量分量。更完整推导需结合拉格朗日形式与约束，参见拉格朗日力学。

稳定性与特征频率

对自由对称陀螺，线性化横向分量可得特征频率 $\Omega =\left|{\frac {I_{3}-I_{1}}{I_{1}}}\,\omega _{3}\right|$ ，表示横向扰动围绕对称轴的进动速度。若 $I_{3}>I_{1}$ （长轴陀螺），则对称轴自旋对横向扰动稳定；若 $I_{3}<I_{1}$ （扁平陀螺），则表现出不同的稳定性特征。相关实验与理论讨论可参考刚体稳定性。

在重力场中的对称陀螺（受力矩）

当支点固定且受重力作用时，关于支点的外力矩沿水平分量不为零，欧拉方程右端出现 ${\boldsymbol {\tau }}$ 。经典结果给出匀速进动条件与进动角速度与自旋的关系，稳态时常见 ${\dot {\phi }}={\frac {Mga}{I_{3}\omega _{3}}}$ ，在小角度与能量守恒条件下成立，其中 $M$ 为质量， $g$ 为重力加速度， $a$ 为质心到支点的距离。这一结论与陀螺效应的宏观观察一致。

常见误区

将实验坐标系与本体坐标系混用，导致惯量与角速度分量错配
忽略 $\omega _{3}$ 常量性（无外力矩时），误判横向分量的时间演化
在受力矩问题中忘记区分关于质心与支点的惯量与力矩表达

参见