经典力学/连结与耦合振子

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连结与耦合振子

• 模型：两个质量通过耦合弹簧连结：$m{\ddot {x}}_{1}+kx_{1}+k_{c}(x_{1}-x_{2})=0$，$m{\ddot {x}}_{2}+kx_{2}+k_{c}(x_{2}-x_{1})=0$。

• 正模与反模：设 $x_{1}=A\cos \omega t$、$x_{2}=B\cos \omega t$，解得同相模 $\omega _{+}={\sqrt {k/m}}$（$A=B$），反相模 $\omega _{-}={\sqrt {(k+2k_{c})/m}}$（$A=-B$）。

• 能量在耦合中转移：弱耦合且初始仅激励一个振子时，存在拍频能量交换，拍频约为 $\omega _{-}-\omega _{+}$。

• 非对称情形：质量或自弹簧不同则模态不再纯同/反相；需要解广义特征问题 $(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$。

• 受迫与锁定：当驱动频率接近某一模态频率时，该模态响应占优；强耦合与非线性可能出现相位锁定与同步。

练习

1. 推导对称耦合系统的两本征频率$\omega _{\pm }$并给出模态向量。
2. 设$m_{1}\neq m_{2}$或$k_{1}\neq k_{2}$，写出矩阵形式并说明如何求模态（无需给出闭式解）。