经典力学/阻尼与受迫振动

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阻尼与受迫振动

• 阻尼自由振动：$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$。欠阻尼解 $x(t)=A{e}^{-\zeta {\omega }_{0}t}\cos ({\omega }_{d}t+\varphi )$，其中 ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$，$\zeta =c/(2\sqrt{km})$，${\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$。

• 受迫稳态：$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$ 的稳态响应幅值 $X(\omega )=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}$，相位差 $\tan \delta =\frac{c\omega }{k-m{\omega }^2}$。

• 初始瞬态：总解为稳态解与齐次解相加；瞬态随 $e^{-\zeta {\omega }_{0}t}$ 衰减并最终仅剩稳态。

• 阻尼分类：$\zeta <1$ 欠阻尼，$\zeta =1$ 临界阻尼（最快无振荡回归），$\zeta >1$ 过阻尼（无振荡缓慢回归）。

• 能量耗散：功率损失平均为 $⟨P⟩=c⟨{\dot{x}}^2⟩$；稳态时驱动功率等于阻尼耗散。

练习

1. 给定$m,k,c$与$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=v_0$，写出欠阻尼自由响应的参数$A,\varphi$。
2. 推导受迫稳态的幅频特性$X(\omega )$与相频特性$\delta (\omega )$的极限：$\omega \to 0$与$\omega \to \mathrm{\infty }$。