信号与系统/系统脉冲响应

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
5. 原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
6. 原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
7. 原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
8. 原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
9. 原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
10. 原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
11. 原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
12. 原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
13. 原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
14. 原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
15. 原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
16. 原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
17. 原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
18. 原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
19. 原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
20. 原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
21. 原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
22. 原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
23. 原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
24. 原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
25. 原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
26. 原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
27. 原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
28. 原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
29. 原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
30. 原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
31. 原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
32. 原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
33. 原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
34. 原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
35. 原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
36. 原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
37. 原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
38. 原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
39. 原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
40. 原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
41. 原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
42. 原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
43. 原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
44. 原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
45. 原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
46. 原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
47. 原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
48. 原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
49. 原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
50. 原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
51. 原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
52. 原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
53. 原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
54. 原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
55. 原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
56. 原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
57. 原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
58. 原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
59. 原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
60. 原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
61. 原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
62. 原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
63. 原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
64. 原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
65. 原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
66. 原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
67. 原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
68. 原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
69. 原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
70. 原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
71. 原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
72. 原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
73. 原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
74. 原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
75. 原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
76. 原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
77. 原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
78. 原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
79. 原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
80. 原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
81. 原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
82. 原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
83. 原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
84. 原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
85. 原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
86. 原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
87. 原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
88. 原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
89. 原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
90. 原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
91. 原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
92. 原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
93. 原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

系统脉冲响应(System Impulse Response)

【定义】连续时间(continuous-time)线性非时变(LTI)系统的“单位脉冲响应 (unit impulse response)”$𝐡(t)$ ︰

(1)系統的初始條件均為0

(2)在時間$t=0$時，系統輸入單位脈衝函數$𝜹(t)$所得的系統響應(輸出)稱為
           單位脈衝響應。一般均用符號$h(t)$表示

© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

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范例3.6

一LTI系统由底下微分方程表示 :${𝝉}_0\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$试求此系统之单位脉冲响应。

【解】當系統輸入$𝐱(t)=\delta (t)$時，系統輸出$𝐲(t)$即為系統之單位脈衝響應$𝐡(t)$。

(1)當$𝐭>0$時，$𝜹(t)=0$

$\mathbf{\Rightarrow }{\tau }_0\frac{dh(t)}{dt}+h(t)=0$ $𝐭>0$

$𝐡(t)=A{e}^{-\frac{t}{{\tau }_0}}$ $t>0$

(2)當$𝐭=0$ 時，由單位脈衝響應的定義得知，初始條件為0                   

故$𝐡(t)=0$ $𝐭<0$

(3)對所有$𝐭$ 

${𝝉}_0\frac{dh(t)}{dt}+h(t)=\tau (t)$

观察上式 : 等号右边为一脉冲函数，等号左边为$𝐡(t)$与$\frac{dh(t)}{dt}$。

由此可知 :$𝐡(t)$不含脉冲函数，(若$𝐡(t)$含有脉冲函数，则等号左边会有脉冲函数的微分，而等号右边仅有脉冲函数，方程式左右不相等，不合)且$𝐡(t)$的微分会产生脉冲函数(即$𝐡(t)$在$𝐭=0$的地方不连续)

(4)將(3)中的等式左右兩邊分別取積分，積分上下限為[$0^{-}$，$0^{+}$]可得 :     

${\int }_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}{\tau }_0\frac{dh(t)}{dt}dt+{\int }_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}h(t)dt={\int }_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}\delta (t)dt$

$𝝉[h(0^{+})-h(0^{-})]+0=1$

$\Rightarrow h(0^{+})=\frac{1}{{\tau }_0}$

(5)將$h(0^{+})=\frac{1}{{\tau }_0}$作為初始條件，代入(1)的結果可得

$a=\frac{1}{{\tau }_0}$

$\Rightarrow h(t)=\frac{1}{{\tau }_0}{e}^{-\frac{t}{{\tau }_0}}$ $t>0$

(6)系統的單位脈衝響應

$h(t)=\{\begin{array}{cc}0,& t>0\\ \frac{1}{{\tau }_0}{e}^{-\frac{t}{{\tau }_0}},& t>0\end{array}$ $=\frac{1}{{\tau }_0}{e}^{-\frac{t}{{\tau }_0}}u(t)$

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范例3.7

考虑如图的RC电路。此电路的系统微分方程式即为上一例题之式子，其中${\tau }_0=RC$。考虑电阻与电容的物理特性来求系统的单位脉冲响应。

© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

【解】

(1)在時間$𝐭=0^{-}$時，電容未充電，電位差$𝐯c(0^{-})=0$

(2)在$𝐭=0$時輸電壓$𝜹(t)$，故流經電阻的電流

$i(t)=\frac{\delta (t)}{R}$ $0^{-}\le t\le 0^{+}$

(3)此電流對電容的充電量為$q(0^{+})={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\frac{\delta (t)}{R}dt=\frac{1}{R}$

(4)電容兩端的電壓  ${𝐯}_c(0^{+})=\frac{1}{RC}$

(5)對於$t>0$，輸入電壓為 0，故電容所充的電量將經由電阻而放電。所以  $v_c(t)=A{e}^{-\frac{t}{RC}}$     $t>0$

(6)由(4)知$v_c(0^{+})=\frac{1}{RC}$代入(5)可得  $v_c(t)=\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}$   $t>0$

(7)故，系統的單位脈衝應為 $h(t)=\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}u(t)$觀察 : 範例3.6之微分方程式中，若$\tau =\frac{1}{RC}$，則與本例相同。

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范例3.8

求右图LC电路的单位脉冲响应

© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

【解】

(1)右圖LC電路的系統方程式為 :

$LC\frac{d^{2}y(t)}{dt}+y(t)=x(t)$

(2)對於單位脈衝輸入，此LC電路的系統方程式可改寫為 :

$LC\frac{d^{2}h(t)}{d{t}^2}+h(t)=\delta (t)$

(3)當$𝐭>0$時

$LC\frac{d^{2}h(t)}{d{t}^2}+h(t)=0$ $\Rightarrow h(t)=(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)$

其中${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

(4)求$\frac{d^{2}h(t)}{d{t}^2}$

$\frac{dh(t)}{dt}=(-A{\omega }_0\cos {\omega }_{0}t+B{\omega }_0\cos {\omega }_{0}t)u(t)+(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)$

$\mathbf{=}-{\omega }_0(A\sin {\omega }_{0}t+B\cos {\omega }_{0}t)u(t)+A\delta (t)$

$\frac{d^{2}h(t)}{d{t}^2}=-{\omega }_0^2(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)u(t)-{\omega }_0(A\sin {\omega }_{0}t-B\cos {\omega }_{0}t)\delta (t)+A\frac{d\delta (t)}{dt}$

$=-{\omega }_0^2(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)u(t)+{\omega }_{0}B\delta (t)+A\frac{d\delta (t)}{dt}$

(5)將(2)(3)的結果代入(1)

$LC[-{\omega }_0^2(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)u(t)+{\omega }_{0}B\delta (t)+A\frac{d\delta (t)}{dt}]+(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)u(t)=\delta (t)$

因为 ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$

$\Rightarrow LC[{\omega }_{0}B\delta (t)+A\frac{d\delta (t)}{dt}]=\delta (t)$

$\Rightarrow A=0$ $𝐋C{\omega }_{0}B=1$ $\Rightarrow B=\frac{1}{\sqrt{LC}}={\omega }_0$

(6)系统的单位脉冲响应$𝐡(t)$为

$𝐡(t)={\omega }_0\sin ({\omega }_{0}t)u(t)$