高中数学（版聊式）/第1节 排列与组合

排列与组合

To be added by someone.

本讲的主题是研究从n个不尽相同的元素中,任取m个元素,有序或无序排放的方法.

注：本文中排列数的表示为P(permutation)与全国教材稍有不同.

阅读之前，您需要了解：

1. 加法原理：完成一件事有n类办法,第一类办法有m₁种方法,第二类办法有m₂种方法,...,第n类办法有m_n种方法,那么完成这件事共有m₁+m₂+...+m_n种方法.
   
2. 乘法原理：完成一件事有n个步骤,第一个步骤有m₁种方法,第二个步骤有m₂种方法,...,第n个步骤有m_n种方法,那么完成这件事共有m₁*m₂*...*m_n种方法.
   
3. 排列数：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,有序排成一列的方法个数.
   
4. 排列数公式：P_n^m=n!/(n-m)!
   
5. 组合数：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的方法个数.
   
6. 组合数公式：C_n^m=n!/[m!(n-m)!]
   
7. 二项式定理：两数之和整数次幂的展开形式，也可以推广到任意实数次幂.
8. 常用性质
   1. 若$n,k\in Z^{+}$，则

      $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

      $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}$

      $C_{n}^{k}={\frac {n}{k}}C_{n-1}^{k-1}$

      $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^{n}$

      $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+(-1)^{n}C_{n}^{n}=0$

   2. 对$n,k\in Z^{+},a\in R,a\neq 0$

      $C_{a}^{n}={\frac {\prod \limits _{k=1}^{n}(a-k+1)}{n!}}$

9. 定理：
   1. 二项式定理：若$n\in Z^{+}$，则$(x+y)^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}$
   2. 广义二项式定理：若$a\neq 0,x\in (-1,1)$，则

      $(1+x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{a}^{k}x^{k}$

      推论1 $a\in Z^{-}$时

      $(1+x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{-a-1+k}^{-a-1}(-x)^{k}$

      $(1-x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{-a-1+k}^{-a-1}x^{k}$

      推论2 $a=-1$时

      ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+...$，

      ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+...$