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函数与图像

基本定义

函数是从定义域到值域的映射，为每个输入分配唯一输出。

1. 记号：$f:X\to Y$，其中$X$为定义域，$Y$为值域
2. 函数值：输入$x\in X$的输出记为$f(x)$
3. 图像：在坐标平面上由所有点$(x,f(x))$构成的集合

• 说明：竖直线判别法用于判断某曲线是否是某个函数的图像

常见函数类型

1. 线性函数：$f(x)=mx+b$，图像为斜率为$m$的直线
2. 二次函数：$f(x)=ax^{2}+bx+c$，图像为开口由$a$决定的抛物线
3. 幂函数：$f(x)=x^{k}$（$k$为实数），不同$k$形状不同
4. 指数函数：$f(x)=a^{x}\ (a>0,a\neq 1)$，单调性由$a$决定
5. 对数函数：$f(x)=\log _{a}x\ (a>0,a\neq 1)$，定义域$x>0$

• 示例：$f(x)=2x+1$为斜率为2的直线；$g(x)=x^{2}-4$为开口向上的抛物线

图像的基本特征

1. 递增与递减：若$x_{1}<x_{2}$且$f(x_{1})\leq f(x_{2})$则称为递增
2. 奇偶性：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$
3. 对称性：奇函数关于原点对称，偶函数关于$y$轴对称
4. 截距：$x$截距满足$f(x)=0$；$y$截距为$f(0)$

• 说明：奇偶性和截距有助于快速勾画图像的骨架

平移与缩放

1. 水平平移：$y=f(x-a)$向右平移$a$单位
2. 垂直平移：$y=f(x)+b$向上平移$b$单位
3. 水平缩放：$y=f(kx)$按${\frac {1}{k}}$倍水平缩放
4. 垂直缩放：$y=cf(x)$按$c$倍垂直缩放

• 示例：$y=(x-1)^{2}+2$由$x^{2}$右移1、上移2得到

反函数与对称

1. 若$f$在定义域上双射，则存在反函数$f^{-1}$
2. 图像关系：$y=f(x)$与$x=f^{-1}(y)$关于直线$y=x$对称
3. 单调性是反函数存在的常见充分条件

• 示例：$f(x)=2x+3$的反函数为$f^{-1}(y)={\frac {y-3}{2}}$

复合与分段

1. 复合函数：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
2. 分段函数：在不同区间用不同表达式定义，例如$f(x)={\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$
3. 图像连接性与端点匹配需注意连续性

• 说明：分段定义时，端点处的取值与左右极限关系决定连续性

极值与导数的几何含义（概念）

1. 切线斜率：导数$f'(x_{0})$为图像在$x_{0}$处切线的斜率
2. 极值条件：若$f$可导，极值常出现在驻点$f'(x)=0$或不可导点
3. 凹凸性：由二阶导数$f''(x)$判断图像的弯曲方向

• 说明：这是图像分析的常用工具，入门可先通过差商与斜率理解

数据可视化与插值（简述）

1. 离散数据的函数近似可用插值或拟合
2. 线性插值在相邻点之间用线段连接近似
3. 多项式插值（如拉格朗日）可在若干节点上精确通过

• 示例：两点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})$的线性插值函数为$y=y_{0}{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}+y_{1}{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

连续与间断（基础）

1. 连续的直观理解：图像可一笔画成，不需抬笔
2. 断点类型：可去间断、跳跃间断、无限间断
3. 极限与连续的联系：若$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$则在$x_{0}$处连续

• 说明：分段函数在拼接点处的连续性需检查左右极限与函数值

单调性与导数（进一步）

1. 若$f'(x)\geq 0$于区间内，则$f$在该区间单调不减
2. 若$f'(x)\leq 0$于区间内，则$f$在该区间单调不增
3. 若$f''(x)>0$，图像凹向上；若$f''(x)<0$，图像凹向下

• 例：$f(x)=x^{3}$在全域递增，且$f''(x)=6x$在$x>0$时凹向上

对称变换与镜像

1. 关于轴对称：$y=f(-x)$为关于$y$轴的镜像
2. 关于点对称：$-f(-x)$为关于原点的镜像
3. 关于水平线对称：$y=-f(x)$为关于$x$轴的镜像

• 示例：若$f(x)=x^{2}$，则$-f(x)=-x^{2}$图像关于$x$轴对称

渐近线与远端行为

1. 水平渐近线：若$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$，则$y=L$为水平渐近线
2. 垂直渐近线：若$\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty$，则$x=a$为垂直渐近线
3. 斜渐近线：通过$\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}$与截距求得

• 示例：$f(x)={\frac {2x+1}{x}}$有水平渐近线$y=2$

表一：常见函数性质速览

常见函数性质汇总

函数类型	定义域	值域（典型）	单调性	奇偶性
线性函数$y=mx+b$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	$m>0$递增，$m<0$递减	无固定
二次函数$y=ax^{2}+bx+c$	$\mathbb {R}$	$[f(x_{0}),\infty )$或$(-\infty ,f(x_{0})]$	两端增长，中间有极值	偶函数（当$b=0$）
指数函数$y=a^{x}$	$\mathbb {R}$	$(0,\infty )$	$a>1$递增，$0<a<1$递减	无固定
对数函数$y=\log _{a}x$	$(0,\infty )$	$\mathbb {R}$	$a>1$递增，$0<a<1$递减	无固定

表二：图像变换对照表

常见图像变换与效果

变换表达	几何效果	参数含义	注意事项
$y=f(x-a)$	向右平移$a$	$a$为水平位移	定义域整体平移
$y=f(x)+b$	向上平移$b$	$b$为垂直位移	值域整体平移
$y=f(kx)$	水平压缩为${\frac {1}{k}}$倍	$k>0$	图像宽度变化
$y=cf(x)$	垂直拉伸为$c$倍	$c>0$	图像高度变化
$y=f(-x)$	关于$y$轴对称	符号取负	奇偶性相关
$y=-f(x)$	关于$x$轴对称	乘以$-1$	极值翻转

例题

题目

设函数$f(x)=(x-2)^{2}-3$。

1. 写出其顶点坐标与开口方向。
2. 求截距（$x$截距与$y$截距）。
3. 说明由$y=x^{2}$经哪些变换得到其图像。

解答

1. 顶点坐标为$(2,-3)$，开口向上（$a=1>0$）。
2. $y$截距：令$x=0$，得$f(0)=4-3=1$，截距为$(0,1)$。
3. $x$截距：令$f(x)=0$，即$(x-2)^{2}=3$，得到$x=2\pm {\sqrt {3}}$，截距为$(2-{\sqrt {3}},0)$与$(2+{\sqrt {3}},0)$。
4. 变换说明：由$y=x^{2}$先向右平移$2$单位（$y=(x-2)^{2}$），再向下平移$3$单位（$y=(x-2)^{2}-3$）。

常见误区与检查

1. 忽略定义域导致图像不完整
2. 平移与缩放方向混淆
3. 反函数存在性条件未检验

• 提示：先写出定义域和关键点，再勾画骨架，最后细化形状