交换代数/主理想整环与唯一分解整环

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A

交换环(Commutative ring) - 一种环，其乘法满足交换律，即对所有元素a,b有ab = ba。主理想整环与唯一分解整环一般都假定为含单位元的交换环。
整环(Integral domain) - 一个交换环，其中ab = 0 蕴含a = 0或b = 0，即没有非零零因子。主理想整环与唯一分解整环都是整环的特殊情形。
理想(Ideal) - 环中的一个加法子群I，满足RI ⊆ I且IR ⊆ I。在交换代数中，用理想刻画代数子结构与代数几何中的代数集合。
主理想(Principal ideal) - 由单一元素生成的理想。若a在环R中，主理想写作(a) = \{ra : r \in R\}。
主理想整环(Principal ideal domain, PID) - 一个整环，其中每个理想都是主理想。典型例子是整数环\mathbb{Z}与一元多项式环k[x]。
伴随多项式(Annulator) - 在模论中，给定模M与元素m∈M，其零化子Ann(m) = \{ r∈R : rm = 0 \}是环R的一个理想，主理想整环上常用来分析结构。

B

基(基底, Basis) - 对向量空间或自由模而言，基是能生成整个空间且线性独立的一组元素。PID上有限生成模总能分解为循环模直和，此时选择合适的基是研究结构的关键。
分解(Decomposition) - 将一个数或元素写成若干不可约元素的乘积。UFD中分解存在且在排列与单位元意义下唯一。
贝祖等式(Bézout's identity) - 在整数或多项式环中，对任意元素a,b存在x,y使ax+by = d，其中d为a,b的最大公因数。在PID中，“最大公因数可写为线性组合”是重要性质。

C

最大公因数(Greatest common divisor, gcd) - 在整环中，能同时整除a,b且在整除关系下最大的元素（只定义到单位元）。在UFD中任意两个非零元素都有gcd，并可利用其素因子分解定义。
整除(Divisibility) - 若a,b为整环R中元素，存在c∈R使b = ac时称a整除b，写作a\mid b。UFD与PID的许多性质均以整除关系表述。
环(Ring) - 配备两种运算（加与乘）的代数结构，加法构成阿贝尔群，乘法封闭且分配律成立。交换代数研究主要聚焦于交换环。

D

单位元(Unit, Invertible element) - 在环R中，若存在v∈R使uv = vu = 1，则称u为单位元。唯一分解整环中的“唯一”只在排列与乘上单位元的意义下成立。
整闭(Dedekind-finite / Integrally closed 的一部分语境) - 在讨论UFD与更一般的整环时，常考虑整闭性，意即环在其分式域中包含所有对其整的元素；UFD一定是整闭整环。
戴德金整环(Dedekind domain) - 一类在数论与代数几何中重要的整环，虽不一定是UFD，但其每个非零真理想皆唯一分解为极大理想的乘积。

E

欧几里得整环(Euclidean domain) - 在整环R上存在一个“度量”δ，使得能进行欧几里得算法。每个欧几里得整环都是主理想整环，进而是唯一分解整环。
欧几里得算法(Euclidean algorithm) - 用于计算两个元素的gcd的演算法，在\mathbb{Z}和k[x]中最为常见。其存在依赖于环具有欧几里得结构。

F

分式域(Field of fractions) - 对整环R，可以构造一个最小的域，其中R嵌入其中，而R中非零元素皆在此变为可逆。研究UFD性质时常在其分式域中考察“整性”。
素理想(Prime ideal) - 若理想\mathfrak{p}满足：若ab∈\mathfrak{p}则a∈\mathfrak{p}或b∈\mathfrak{p}，则称为素理想。整环R的零理想为素理想当且仅当R为整环。
分解定理(Factorization theorem) - 在UFD中，任意非零非单位元都可以唯一分解为有限个不可约元素的乘积，此即分解定理。

G

理想分解(Ideal factorization) - 即把一个理想写成若干素理想的乘积。虽然一般整环未必为UFD，但在某些环（如戴德金整环）中，理想仍具有唯一的素理想分解性。
生成元(Generator) - 若理想I可写成I = (a_1,\dots,a_n)，则称a_1,\dots,a_n为其生成元。在主理想整环中，每个理想都有单一生成元，故称为“主”理想。

H

同构(Isomorphism) - 在环与模的范畴中，同构是保留结构的双射。对PID上的有限生成模存在分类定理，给出其与一些标准形模之间的同构。
同态(Homomorphism) - 保留环或模运算的映射。主理想整环与UFD上的同态常用来把问题转化为更熟悉的环中研究。

I

不可约元素(Irreducible element) - 非零、非单位元p，若对任意分解p = ab，必有a或b为单位元，则称p不可约。UFD的定义正是以不可约元素的唯一分解为核心。
理想类群(Ideal class group) - 衡量一个整环偏离UFD程度的重要代数对象。若整环的理想类群为平凡群，则该环为UFD。

J

雅可比根(Jacobson radical) - 环中所有极大理想的交集。在交换代数中用来描述环的“接近局部化”或“模结构”的某些性质，虽然在PID/UFD的讨论中不是主角，但常出现在更进一步的研究中。

K

域(Field, 常记作 K) - 一种特殊的交换环，每个非零元素皆可逆。多项式环K[x]是最重要的例子之一，既是欧几里得整环，也是PID和UFD。
分圆域(Cyclotomic field) - 由一个原始n次单位根生成的数域。其整数环不一定是UFD，研究其理想分解与类群是代数数论的核心问题之一。

L

局部化(Localization) - 给定环R与乘法闭集S，可构造局部化S^{-1}R，在其中S中元素变为可逆。局部化常用来“放大”某个素理想附近的性质，例如研究UFD在局部化后是否仍保持UFD。
列中模分解(Structure theorem) - 在PID上有限生成模可写成若干循环模直和的结构定理，是线性代数中“Jordan标准形”“Smith标准形”的抽象版本。

M

极大理想(Maximal ideal) - 真理想\mathfrak{m}，其上严格包含的真理想只有自身。商环R/\mathfrak{m}必为域。对整环而言，素理想与极大理想的关系决定了其代数与几何结构。
模(Module) - 对环的一种“向量空间”般的概括。PID上的有限生成模分类是主理想整环最重要的应用之一。

N

诺特环(Noetherian ring) - 每个理想升链稳定终止的环。PID一定是诺特环，而许多关于UFD的性质也常在诺特假设下讨论。
数域(Number field) - 有限生成的有理数域扩张。其整数环一般不是UFD，但为戴德金整环，可借由理想分解部分恢复唯一分解。

O

代数整数(Algebraic integer) - 在数域中，满足系数为整数的首一多项式的根。其全体在加与乘下构成一个整环，称为该数域的整数环，研究其是否为UFD是数论中的基本问题。

P

主理想整环(Principal ideal domain, PID) - 每个理想均由单一元素生成的整环。PID具有良好的分解与模分类性质，是介于一般整环与欧几里得整环之间的重要类别。
素元(Prime element) - 非零、非单位元p，若p\mid ab则p\mid a或p\mid b。在UFD中，素元与不可约元素等价，这一点对建立唯一分解至关重要。

Q

有理数域( field of rational numbers, \mathbb{Q}) - 整数环\mathbb{Z}的分式域，是最基本的数域例子。\mathbb{Z}作为PID与UFD，其性质经常被用作更一般整环的模型。

R

环(Ring) - 交换代数的基础对象，研究诸如PID、UFD、诺特环等特殊类别，以理解代数结构与几何对象之间的对应。
剩馀类环(Quotient ring) - 对环R与理想I，商环R/I是把I“视为零”后得到的新环。通过适当选择I，可以构造出域、局部环等结构。

S

唯一分解整环(Uniquely factorization domain, UFD) - 一个整环，其中每个非零非单位元都能写成有限个不可约元素的乘积，且此分解在排列与单位元意义下唯一。PID皆为UFD，但反之不然。
Smith标准形(Smith normal form) - 针对整数矩阵或PID上矩阵的标准形，反映了对应模的分解情况，是研究线性变换和有限生成模结构的重要工具。

T

特征(Characteristic) - 环中1+1+\cdots+1（有限次）若得到0，则其次数为特征；否则特征为零。PID和UFD多出现在特征为零或素数特征的情况中。
张量积(Tensor product) - 模之间的一种基本构造，用于在不同环之间转移结构与性质。PID上的张量积计算较为简单，因为模的结构已被良好分类。

U

UFD(Uniquely factorization domain) - 见“唯一分解整环”。此类整环使得“素因子分解”概念得以推广至多项式与其他数论环中。
单位(Unit) - 见“单位元”。在UFD的分解中，单位元往往被忽略或归入“±1”这类因子中。

V

赋值(Valuation) - 将整环或数域中的元素映到有序群，用以衡量“可除性”或“零点阶数”。在研究UFD与理想分解时，赋值提供了一种量化工具。
范数(Norm) - 对数域或其整数环元素给出一个整数值函数，与因式分解及理想分解密切相关。某些“范数条件”可用来判断UFD性。

W

Weil群/Weil除子(Weil divisor) - 在代数几何与数论中，用形式线性组合记录素因子或素理想的“幂次”。在一般整环中，将元素的因式分解推广为“除子的分解”，可部分替代UFD性。
Witt向量(Witt vectors) - 用于构造带有特定p进结构的环。虽然不直接等同于PID/UFD，但在研究p进整数环与其因子分解时经常出现。

X

形式幂级数环(Formal power series ring) - 记作Rx，其元素为无穷多项式。在某些条件下，若R为UFD，则Rx也保留若干分解性质，但一般情况须谨慎处理。

Y

Yang–Mills结构(类比) - 虽主要出现在数学物理与微分几何中，但在抽象代数视角下，也涉及某些环与模上的结构；此处仅作为跨领域延伸方向的提示。

Z

整数环(Ring of integers) - 一般指\mathbb{Z}或数域中的代数整数环。\mathbb{Z}既是PID又是UFD，是研究主理想整环与唯一分解整环的典型模型。
零因子(Zero divisor) - 在环中非零元素a，若存在非零b使ab=0，则称为零因子。UFD与PID都要求环为整环，因此不允许非零零因子存在。