环同态与同构基本定理

1. 环同态的定义与基本性质

1.1 环同态

设 $R$ 与 $S$ 是两个环。映射 $ϕ : R \to S$ 称为环同态，如果它保持环的运算：

$ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b)$ 对所有 $a, b \in R$
$ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)$ 对所有 $a, b \in R$
$ϕ (1_{R}) = 1_{S}$ （若两环均为幺环）

核定义为：

$\ker ϕ = {r \in R ∣ ϕ (r) = 0_{S}}$

像定义为：

$im ϕ = {ϕ (r) ∣ r \in R} = ϕ (R)$

1.2 核与像的性质

定理 1.1： 设 $ϕ : R \to S$ 是环同态，则：

$\ker ϕ$ 是 $R$ 的双边理想
$im ϕ$ 是 $S$ 的子环
$ϕ$ 是单射当且仅当 $\ker ϕ = {0}$

表1：常见环同态示例

同态	定义	核	像
$ℤ \to ℤ / n ℤ$	自然投影 $a \mapsto \bar{a}$	$n ℤ$	$ℤ / n ℤ$
$ℤ \to ℤ$	乘法 $a \mapsto n a$	${0}$	$n ℤ$
$R [x] \to R$	求值 $f (x) \mapsto f (a)$	$(x - a)$	$R$
$ℂ \to ℂ$	共轭 $z \mapsto \bar{z}$	${0}$	$ℂ$
$k [x, y] \to k [t]$	$x \mapsto t^{2}, y \mapsto t^{3}$	$(y^{2} - x^{3})$	$k [t^{2}, t^{3}]$

表2：环同态的类型

类型	定义	等价条件
单同态（单射）	$ϕ (a) = ϕ (b) \Rightarrow a = b$	$\ker ϕ = {0}$
满同态（满射）	$im ϕ = S$	对所有 $s \in S$ 存在 $r \in R$ 使 $ϕ (r) = s$
同构	双射的同态	存在逆同态 $ϕ^{- 1}$
自同态	$R \to R$	环到自身的同态
自同构	$R \to R$ 的同构	可逆的自同态

1.3 同态的复合

命题 1.2： 设 $ϕ : R \to S$ 和 $ψ : S \to T$ 是环同态，则：

$ψ \circ ϕ : R \to T$ 是环同态
$\ker (ψ \circ ϕ) = ϕ^{- 1} (\ker ψ)$
若 $ϕ, ψ$ 都是同构，则 $ψ \circ ϕ$ 也是同构

表3：同态复合的性质

性质	$ϕ$	$ψ$	$ψ \circ ϕ$
单射性	单射	单射	单射
满射性	满射	满射	满射
核的关系	$\ker ϕ$	$\ker ψ$	$\ker (ψ \circ ϕ) \supseteq \ker ϕ$
像的关系	$im ϕ$	$im ψ$	$im (ψ \circ ϕ) = ψ (im ϕ)$

2. 同态基本定理

2.1 第一同构定理

定理 2.1（第一同构定理）： 设 $ϕ : R \to S$ 是环同态，则存在唯一的环同构

$\bar{ϕ} : R / \ker ϕ \to im ϕ$

使得下图交换：

$R \overset{ϕ}{\to} im ϕ$

$↓ π ↗ \bar{ϕ}$

$R / \ker ϕ$

其中 $π : R \to R / \ker ϕ$ 是自然投影。

证明要点：

定义 $\bar{ϕ} (r + \ker ϕ) = ϕ (r)$
良定义性：若 $r_{1} - r_{2} \in \ker ϕ$ ，则 $ϕ (r_{1} - r_{2}) = 0$ ，故 $ϕ (r_{1}) = ϕ (r_{2})$
$\bar{ϕ}$ 保持加法与乘法
$\bar{ϕ}$ 是单射： $\bar{ϕ} (r + \ker ϕ) = 0 \Rightarrow ϕ (r) = 0 \Rightarrow r \in \ker ϕ$
$\bar{ϕ}$ 是满射：对任意 $s \in im ϕ$ ，存在 $r \in R$ 使 $ϕ (r) = s$

表4：第一同构定理应用实例

同态 $ϕ$	$\ker ϕ$	$im ϕ$	同构结论
$ℤ \to ℤ / n ℤ$	$n ℤ$	$ℤ / n ℤ$	$ℤ / n ℤ ≅ ℤ / n ℤ$
$R [x] \to R, f \mapsto f (a)$	$(x - a)$	$R$	$R [x] / (x - a) ≅ R$
$ℂ [x, y] \to ℂ [t], x \mapsto t^{2}, y \mapsto t^{3}$	$(y^{2} - x^{3})$	$ℂ [t^{2}, t^{3}]$	$ℂ [x, y] / (y^{2} - x^{3}) ≅ ℂ [t^{2}, t^{3}]$
$M_{n} (ℝ) \to ℝ, A \mapsto tr (A)$	${A : tr (A) = 0}$	$ℝ$	$M_{n} (ℝ) / \ker ≅ ℝ$

2.2 第二同构定理

定理 2.2（第二同构定理）： 设 $S$ 是环 $R$ 的子环， $I$ 是 $R$ 的理想，则：

$S + I = {s + a ∣ s \in S, a \in I}$ 是 $R$ 的子环
$S \cap I$ 是 $S$ 的理想
存在同构 $(S + I) / I ≅ S / (S \cap I)$

证明思路： 考虑自然同态 $ϕ : S \to (S + I) / I$ ，其核为 $S \cap I$ ，像为 $(S + I) / I$ 。

表5：第二同构定理应用实例

环 $R$	子环 $S$	理想 $I$	结论
$ℤ$	$2 ℤ$	$6 ℤ$	$(2 ℤ + 6 ℤ) / 6 ℤ ≅ 2 ℤ / 6 ℤ$
$k [x, y]$	$k [x]$	$(y)$	$(k [x] + (y)) / (y) ≅ k [x]$
$M_{n} (R)$	对角矩阵	上三角幂零矩阵	商同构于对角矩阵环
$ℤ [i]$	$ℤ$	$(1 + i)$	$(ℤ + (1 + i)) / (1 + i) ≅ ℤ / ℤ \cap (1 + i)$

2.3 第三同构定理

定理 2.3（第三同构定理）： 设 $I \subseteq J$ 是环 $R$ 的两个理想，则：

$J / I$ 是 $R / I$ 的理想
存在同构 $(R / I) / (J / I) ≅ R / J$

证明： 考虑复合同态 $R \to R / I \to (R / I) / (J / I)$ ，其核恰为 $J$ 。

表6：理想链与商环塔

理想链	商环序列	同构关系
${0} \subseteq I \subseteq J \subseteq R$	$R \to R / I \to R / J$	$R / J ≅ (R / I) / (J / I)$
${0} \subseteq (2) \subseteq (6) \subseteq ℤ$	$ℤ \to ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 6 ℤ$	$ℤ / 6 ℤ ≅ (ℤ / 2 ℤ) / (3 ℤ / 2 ℤ)$
${0} \subseteq (x) \subseteq (x, y) \subseteq k [x, y]$	$k [x, y] \to k [x, y] / (x) \to k [x, y] / (x, y)$	$k [x, y] / (x, y) ≅ (k [x, y] / (x)) / ((x, y) / (x))$
${0} \subseteq (p) \subseteq (p^{2}) \subseteq ℤ$	$ℤ \to ℤ / p ℤ \to ℤ / p^{2} ℤ$	$ℤ / p^{2} ℤ ≅ (ℤ / p ℤ) / (p ℤ / p^{2} ℤ)$

3. 对应定理

3.1 理想的对应

定理 3.1（对应定理）： 设 $I$ 是环 $R$ 的理想， $π : R \to R / I$ 是自然投影。则存在保序双射：

${包含 I 的 R 的理想} \leftrightarrow {R / I 的理想}$

对应关系为：

正向： $J \mapsto J / I = π (J)$

逆向： $\bar{J} \mapsto π^{- 1} (\bar{J})$

且该对应保持：

包含关系
和、交、积运算
素理想、极大理想性质

表7：对应定理的性质保持

性质	$R$ 中	$R / I$ 中	保持性
包含	$J_{1} \subseteq J_{2}$	$J_{1} / I \subseteq J_{2} / I$	✓
和	$J_{1} + J_{2}$	$(J_{1} + J_{2}) / I = J_{1} / I + J_{2} / I$	✓
交	$J_{1} \cap J_{2}$	$(J_{1} \cap J_{2}) / I = J_{1} / I \cap J_{2} / I$	✓
积	$J_{1} J_{2}$	$(J_{1} J_{2}) / I = (J_{1} / I) (J_{2} / I)$	✓
素理想	$J$ 是素理想且 $J \supseteq I$	$J / I$ 是素理想	✓
极大理想	$J$ 是极大理想且 $J \supseteq I$	$J / I$ 是极大理想	✓
根式	$\sqrt{J}$	$\sqrt{J / I} = \sqrt{J} / I$	✓
主理想	$(a)$ 且 $a \in I$	$(\bar{a})$	✓（当 $a \notin I$ ）

3.2 素理想与极大理想的对应

推论 3.2： 设 $I$ 是环 $R$ 的理想，则：

$R / I$ 的素理想恰好是形如 $𝔭 / I$ 的理想，其中 $𝔭$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的素理想
$R / I$ 的极大理想恰好是形如 $𝔪 / I$ 的理想，其中 $𝔪$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的极大理想
$R / I$ 是整环当且仅当 $I$ 是素理想
$R / I$ 是域当且仅当 $I$ 是极大理想

表8：具体环的理想对应实例

环 $R$	理想 $I$	$R / I$ 的全部理想	对应的 $R$ 中理想
$ℤ$	$6 ℤ$	$\bar{0}, \bar{2} ℤ / 6 ℤ, \bar{3} ℤ / 6 ℤ, ℤ / 6 ℤ$	$6 ℤ, 2 ℤ, 3 ℤ, ℤ$
$k [x]$	$(x^{2})$	$\bar{0}, (\bar{x}), k [x] / (x^{2})$	$(x^{2}), (x), k [x]$
$k [x, y]$	$(y)$	$k [x, y] / (y)$ 的理想 $≅ k [x]$ 的理想	包含 $(y)$ 的理想
$ℤ [i]$	$(2)$	$\bar{0}, (1 + i) / (2), ℤ [i] / (2)$	$(2), (1 + i), ℤ [i]$

4. 中国剩余定理

4.1 两个理想的情形

定理 4.1（中国剩余定理）： 设 $I, J$ 是环 $R$ 的理想且 $I + J = R$ （互素），则自然同态

$ϕ : R \to R / I \times R / J, r \mapsto (r + I, r + J)$

诱导同构：

$R / (I \cap J) ≅ R / I \times R / J$

证明要点：

$\ker ϕ = I \cap J$
由 $I + J = R$ ，存在 $a \in I, b \in J$ 使 $a + b = 1$
对任意 $(x + I, y + J) \in R / I \times R / J$ ，取 $r = y b + x a$
验证 $ϕ (r) = (x + I, y + J)$ ，故 $ϕ$ 满射

表9：中国剩余定理应用实例

环 $R$	理想 $I$	理想 $J$	互素条件	同构结论
$ℤ$	$(m)$	$(n)$	$gcd (m, n) = 1$	$ℤ / (m n) ≅ ℤ / (m) \times ℤ / (n)$
$k [x]$	$(f)$	$(g)$	$gcd (f, g) = 1$	$k [x] / (f g) ≅ k [x] / (f) \times k [x] / (g)$
$ℤ$	$(6)$	$(35)$	$gcd (6, 35) = 1$	$ℤ / (210) ≅ ℤ / (6) \times ℤ / (35)$
$k [x, y]$	$(x)$	$(y)$	$(x) + (y) = k [x, y]$	$k [x, y] / (x y) ≅ k [y] \times k [x]$

4.2 多个理想的情形

定理 4.2（推广的中国剩余定理）： 设 $I_{1}, \dots, I_{n}$ 是环 $R$ 的理想，且两两互素（即 $I_{i} + I_{j} = R$ 当 $i \neq j$ ），则自然同态

$ϕ : R \to R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n}, r \mapsto (r + I_{1}, \dots, r + I_{n})$

诱导同构：

$R / (I_{1} \cap \dots \cap I_{n}) ≅ R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n}$

且当 $I_{i}$ 两两互素时， $I_{1} \cap \dots \cap I_{n} = I_{1} \dots I_{n}$ 。

表10：多理想中国剩余定理实例

环	理想组	互素条件	同构结论
$ℤ$	$(2), (3), (5)$	两两互素	$ℤ / (30) ≅ ℤ / (2) \times ℤ / (3) \times ℤ / (5)$
$k [x]$	$(x), (x - 1), (x - 2)$	两两互素	$k [x] / (x (x - 1) (x - 2)) ≅ k \times k \times k$
$ℤ$	$(4), (9), (25)$	两两互素	$ℤ / (900) ≅ ℤ / (4) \times ℤ / (9) \times ℤ / (25)$
$k [x]$	$((x - a_{i})^{n_{i}})$ , $a_{i}$ 互异	两两互素	$k [x] / (\prod (x - a_{i})^{n_{i}}) ≅ \prod k [x] / ((x - a_{i})^{n_{i}})$

5. 应用与例子

5.1 环的分类

利用同构定理，我们可以判断两个环是否同构。

例 5.1： 证明 $ℤ [i] / (1 + i) ≅ ℤ / 2 ℤ$ 。

证明： 考虑同态 $ϕ : ℤ [i] \to ℤ / 2 ℤ$ 定义为 $ϕ (a + b i) = a + b (\mod 2)$ 。

$ϕ$ 是满同态
$\ker ϕ = {a + b i : a + b \equiv 0 (\mod 2)} = (1 + i)$
由第一同构定理， $ℤ [i] / (1 + i) ≅ ℤ / 2 ℤ$

表11：常见商环同构

商环	同构于	证明方法
$ℝ [x] / (x^{2} + 1)$	$ℂ$	求值同态 $x \mapsto i$
$ℤ [i] / (1 + i)$	$ℤ / 2 ℤ$	范数同态
$k [x, y] / (y - x^{2})$	$k [t]$	参数化 $x \mapsto t, y \mapsto t^{2}$
$ℂ [x, y] / (x^{2} + y^{2} - 1)$	$ℂ [t, t^{- 1}]$	参数化 $x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, y = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$
$ℤ [x] / (2, x)$	$ℤ / 2 ℤ$	复合商

5.2 素谱的计算

利用对应定理，我们可以计算商环的素谱。

例 5.2： 计算 $Spec (ℤ / 6 ℤ)$ 。

解：由对应定理， $ℤ / 6 ℤ$ 的素理想对应于 $ℤ$ 中包含 $6 ℤ$ 的素理想。

$ℤ$ 中包含 $6 ℤ$ 的素理想为 $(2), (3)$
故 $Spec (ℤ / 6 ℤ) = {(2) / (6), (3) / (6)} = {\bar{2} ℤ / 6 ℤ, \bar{3} ℤ / 6 ℤ}$

表12：常见商环的素谱

商环	素谱	极大谱
$ℤ / n ℤ$	${(p) / (n) : p ∣ n, p 素数}$	同素谱
$k [x] / (f)$ , $f$ 无平方因子	${(p_{i}) / (f) : f = \prod p_{i}}$	同素谱
$k [x, y] / (x y)$	${(x) / (x y), (y) / (x y)}$	同素谱
$k [x] / (x^{2})$	${(x) / (x^{2})}$	同素谱