交换代数/环同态与同构基本定理

环同态与同构基本定理

1. 环同态的定义与基本性质

1.1 环同态

设 $R$ 与 $S$ 是两个环。映射 $\phi :R\to S$ 称为环同态，如果它保持环的运算：

1. $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ 对所有 $a,b\in R$
2. $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ 对所有 $a,b\in R$
3. $\phi (1_{R})=1_{S}$（若两环均为幺环）

核定义为：

$\ker \phi =\{r\in R\mid \phi (r)=0_{S}\}$

像定义为：

${\text{im }}\phi =\{\phi (r)\mid r\in R\}=\phi (R)$

1.2 核与像的性质

定理 1.1： 设 $\phi :R\to S$ 是环同态，则：

1. $\ker \phi$ 是 $R$ 的双边理想
2. ${\text{im }}\phi$ 是 $S$ 的子环
3. $\phi$ 是单射当且仅当 $\ker \phi =\{0\}$

环同态的核与像示意图

表1：常见环同态示例

同态	定义	核	像
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	自然投影 $a\mapsto {\bar {a}}$	$n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$	乘法 $a\mapsto na$	$\{0\}$	$n\mathbb {Z}$
$R[x]\to R$	求值 $f(x)\mapsto f(a)$	$(x-a)$	$R$
$\mathbb {C} \to \mathbb {C}$	共轭 $z\mapsto {\bar {z}}$	$\{0\}$	$\mathbb {C}$
$k[x,y]\to k[t]$	$x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{3}$	$(y^{2}-x^{3})$	$k[t^{2},t^{3}]$

表2：环同态的类型

类型	定义	等价条件
单同态（单射）	$\phi (a)=\phi (b)\Rightarrow a=b$	$\ker \phi =\{0\}$
满同态（满射）	${\text{im }}\phi =S$	对所有 $s\in S$ 存在 $r\in R$ 使 $\phi (r)=s$
同构	双射的同态	存在逆同态 $\phi ^{-1}$
自同态	$R\to R$	环到自身的同态
自同构	$R\to R$ 的同构	可逆的自同态

1.3 同态的复合

命题 1.2： 设 $\phi :R\to S$ 和 $\psi :S\to T$ 是环同态，则：

1. $\psi \circ \phi :R\to T$ 是环同态
2. $\ker(\psi \circ \phi )=\phi ^{-1}(\ker \psi )$
3. 若 $\phi ,\psi$ 都是同构，则 $\psi \circ \phi$ 也是同构

表3：同态复合的性质

性质	$\phi$	$\psi$	$\psi \circ \phi$
单射性	单射	单射	单射
满射性	满射	满射	满射
核的关系	$\ker \phi$	$\ker \psi$	$\ker(\psi \circ \phi )\supseteq \ker \phi$
像的关系	${\text{im }}\phi$	${\text{im }}\psi$	${\text{im }}(\psi \circ \phi )=\psi ({\text{im }}\phi )$

2. 同态基本定理

2.1 第一同构定理

定理 2.1（第一同构定理）： 设 $\phi :R\to S$ 是环同态，则存在唯一的环同构

${\bar {\phi }}:R/\ker \phi \to {\text{im }}\phi$

使得下图交换：

$R\xrightarrow {\phi } {\text{im }}\phi$

$\downarrow \pi \qquad \nearrow {\bar {\phi }}$

$R/\ker \phi$

其中 $\pi :R\to R/\ker \phi$ 是自然投影。

第一同构定理交换图

证明要点：

1. 定义 ${\bar {\phi }}(r+\ker \phi )=\phi (r)$
2. 良定义性：若 $r_{1}-r_{2}\in \ker \phi$，则 $\phi (r_{1}-r_{2})=0$，故 $\phi (r_{1})=\phi (r_{2})$
3. ${\bar {\phi }}$ 保持加法与乘法
4. ${\bar {\phi }}$ 是单射：${\bar {\phi }}(r+\ker \phi )=0\Rightarrow \phi (r)=0\Rightarrow r\in \ker \phi$
5. ${\bar {\phi }}$ 是满射：对任意 $s\in {\text{im }}\phi$，存在 $r\in R$ 使 $\phi (r)=s$

表4：第一同构定理应用实例

同态 $\phi$	$\ker \phi$	${\text{im }}\phi$	同构结论
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
$R[x]\to R,f\mapsto f(a)$	$(x-a)$	$R$	$R[x]/(x-a)\cong R$
$\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [t],x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{3}$	$(y^{2}-x^{3})$	$\mathbb {C} [t^{2},t^{3}]$	$\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{3})\cong \mathbb {C} [t^{2},t^{3}]$
$M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,A\mapsto {\text{tr}}(A)$	$\{A:{\text{tr}}(A)=0\}$	$\mathbb {R}$	$M_{n}(\mathbb {R} )/\ker \cong \mathbb {R}$

2.2 第二同构定理

定理 2.2（第二同构定理）： 设 $S$ 是环 $R$ 的子环，$I$ 是 $R$ 的理想，则：

1. $S+I=\{s+a\mid s\in S,a\in I\}$ 是 $R$ 的子环
2. $S\cap I$ 是 $S$ 的理想
3. 存在同构 $(S+I)/I\cong S/(S\cap I)$

证明思路： 考虑自然同态 $\phi :S\to (S+I)/I$，其核为 $S\cap I$，像为 $(S+I)/I$。

第二同构定理示意图

表5：第二同构定理应用实例

环 $R$	子环 $S$	理想 $I$	结论
$\mathbb {Z}$	$2\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z}$	$(2\mathbb {Z} +6\mathbb {Z} )/6\mathbb {Z} \cong 2\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$
$k[x,y]$	$k[x]$	$(y)$	$(k[x]+(y))/(y)\cong k[x]$
$M_{n}(R)$	对角矩阵	上三角幂零矩阵	商同构于对角矩阵环
$\mathbb {Z} [i]$	$\mathbb {Z}$	$(1+i)$	$(\mathbb {Z} +(1+i))/(1+i)\cong \mathbb {Z} /\mathbb {Z} \cap (1+i)$

2.3 第三同构定理

定理 2.3（第三同构定理）： 设 $I\subseteq J$ 是环 $R$ 的两个理想，则：

1. $J/I$ 是 $R/I$ 的理想
2. 存在同构 $(R/I)/(J/I)\cong R/J$

证明： 考虑复合同态 $R\to R/I\to (R/I)/(J/I)$，其核恰为 $J$。

第三同构定理的塔状结构

表6：理想链与商环塔

理想链	商环序列	同构关系
$\{0\}\subseteq I\subseteq J\subseteq R$	$R\to R/I\to R/J$	$R/J\cong (R/I)/(J/I)$
$\{0\}\subseteq (2)\subseteq (6)\subseteq \mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )/(3\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$\{0\}\subseteq (x)\subseteq (x,y)\subseteq k[x,y]$	$k[x,y]\to k[x,y]/(x)\to k[x,y]/(x,y)$	$k[x,y]/(x,y)\cong (k[x,y]/(x))/((x,y)/(x))$
$\{0\}\subseteq (p)\subseteq (p^{2})\subseteq \mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )/(p\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )$

3. 对应定理

3.1 理想的对应

定理 3.1（对应定理）： 设 $I$ 是环 $R$ 的理想，$\pi :R\to R/I$ 是自然投影。则存在保序双射：

$\{{\text{包含 }}I{\text{ 的 }}R{\text{ 的理想}}\}\leftrightarrow \{R/I{\text{ 的理想}}\}$

对应关系为：

• 正向：$J\mapsto J/I=\pi (J)$

• 逆向：${\bar {J}}\mapsto \pi ^{-1}({\bar {J}})$

且该对应保持：

1. 包含关系
2. 和、交、积运算
3. 素理想、极大理想性质

表7：对应定理的性质保持

性质	$R$ 中	$R/I$ 中	保持性
包含	$J_{1}\subseteq J_{2}$	$J_{1}/I\subseteq J_{2}/I$	✓
和	$J_{1}+J_{2}$	$(J_{1}+J_{2})/I=J_{1}/I+J_{2}/I$	✓
交	$J_{1}\cap J_{2}$	$(J_{1}\cap J_{2})/I=J_{1}/I\cap J_{2}/I$	✓
积	$J_{1}J_{2}$	$(J_{1}J_{2})/I=(J_{1}/I)(J_{2}/I)$	✓
素理想	$J$ 是素理想且 $J\supseteq I$	$J/I$ 是素理想	✓
极大理想	$J$ 是极大理想且 $J\supseteq I$	$J/I$ 是极大理想	✓
根式	${\sqrt {J}}$	${\sqrt {J/I}}={\sqrt {J}}/I$	✓
主理想	$(a)$ 且 $a\in I$	$({\bar {a}})$	✓（当 $a\notin I$）

3.2 素理想与极大理想的对应

推论 3.2： 设 $I$ 是环 $R$ 的理想，则：

1. $R/I$ 的素理想恰好是形如 ${\mathfrak {p}}/I$ 的理想，其中 ${\mathfrak {p}}$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的素理想
2. $R/I$ 的极大理想恰好是形如 ${\mathfrak {m}}/I$ 的理想，其中 ${\mathfrak {m}}$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的极大理想
3. $R/I$ 是整环当且仅当 $I$ 是素理想
4. $R/I$ 是域当且仅当 $I$ 是极大理想

表8：具体环的理想对应实例

环 $R$	理想 $I$	$R/I$ 的全部理想	对应的 $R$ 中理想
$\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z}$	${\bar {0}},{\bar {2}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,{\bar {3}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} ,3\mathbb {Z} ,\mathbb {Z}$
$k[x]$	$(x^{2})$	${\bar {0}},({\bar {x}}),k[x]/(x^{2})$	$(x^{2}),(x),k[x]$
$k[x,y]$	$(y)$	$k[x,y]/(y)$ 的理想 $\cong k[x]$ 的理想	包含 $(y)$ 的理想
$\mathbb {Z} [i]$	$(2)$	${\bar {0}},(1+i)/(2),\mathbb {Z} [i]/(2)$	$(2),(1+i),\mathbb {Z} [i]$

4. 中国剩余定理

4.1 两个理想的情形

定理 4.1（中国剩余定理）： 设 $I,J$ 是环 $R$ 的理想且 $I+J=R$（互素），则自然同态

$\phi :R\to R/I\times R/J,\quad r\mapsto (r+I,r+J)$

诱导同构：

$R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J$

证明要点：

1. $\ker \phi =I\cap J$
2. 由 $I+J=R$，存在 $a\in I,b\in J$ 使 $a+b=1$
3. 对任意 $(x+I,y+J)\in R/I\times R/J$，取 $r=yb+xa$
4. 验证 $\phi (r)=(x+I,y+J)$，故 $\phi$ 满射

表9：中国剩余定理应用实例

环 $R$	理想 $I$	理想 $J$	互素条件	同构结论
$\mathbb {Z}$	$(m)$	$(n)$	$\gcd(m,n)=1$	$\mathbb {Z} /(mn)\cong \mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$
$k[x]$	$(f)$	$(g)$	$\gcd(f,g)=1$	$k[x]/(fg)\cong k[x]/(f)\times k[x]/(g)$
$\mathbb {Z}$	$(6)$	$(35)$	$\gcd(6,35)=1$	$\mathbb {Z} /(210)\cong \mathbb {Z} /(6)\times \mathbb {Z} /(35)$
$k[x,y]$	$(x)$	$(y)$	$(x)+(y)=k[x,y]$	$k[x,y]/(xy)\cong k[y]\times k[x]$

4.2 多个理想的情形

定理 4.2（推广的中国剩余定理）： 设 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 是环 $R$ 的理想，且两两互素（即 $I_{i}+I_{j}=R$ 当 $i\neq j$），则自然同态

$\phi :R\to R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{n},\quad r\mapsto (r+I_{1},\ldots ,r+I_{n})$

诱导同构：

$R/(I_{1}\cap \cdots \cap I_{n})\cong R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{n}$

且当 $I_{i}$ 两两互素时，$I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}=I_{1}\cdots I_{n}$。

表10：多理想中国剩余定理实例

环	理想组	互素条件	同构结论
$\mathbb {Z}$	$(2),(3),(5)$	两两互素	$\mathbb {Z} /(30)\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)$
$k[x]$	$(x),(x-1),(x-2)$	两两互素	$k[x]/(x(x-1)(x-2))\cong k\times k\times k$
$\mathbb {Z}$	$(4),(9),(25)$	两两互素	$\mathbb {Z} /(900)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)$
$k[x]$	$((x-a_{i})^{n_{i}})$, $a_{i}$ 互异	两两互素	$k[x]/(\prod (x-a_{i})^{n_{i}})\cong \prod k[x]/((x-a_{i})^{n_{i}})$

5. 应用与例子

5.1 环的分类

利用同构定理，我们可以判断两个环是否同构。

例 5.1： 证明 $\mathbb {Z} [i]/(1+i)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$。

证明： 考虑同态 $\phi :\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 定义为 $\phi (a+bi)=a+b{\pmod {2}}$。

1. $\phi$ 是满同态
2. $\ker \phi =\{a+bi:a+b\equiv 0{\pmod {2}}\}=(1+i)$
3. 由第一同构定理，$\mathbb {Z} [i]/(1+i)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

表11：常见商环同构

商环	同构于	证明方法
$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$	$\mathbb {C}$	求值同态 $x\mapsto i$
$\mathbb {Z} [i]/(1+i)$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	范数同态
$k[x,y]/(y-x^{2})$	$k[t]$	参数化 $x\mapsto t,y\mapsto t^{2}$
$\mathbb {C} [x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$	$\mathbb {C} [t,t^{-1}]$	参数化 $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
$\mathbb {Z} [x]/(2,x)$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	复合商

5.2 素谱的计算

利用对应定理，我们可以计算商环的素谱。

例 5.2： 计算 ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} )$。

解： 由对应定理，$\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ 的素理想对应于 $\mathbb {Z}$ 中包含 $6\mathbb {Z}$ 的素理想。

1. $\mathbb {Z}$ 中包含 $6\mathbb {Z}$ 的素理想为 $(2),(3)$
2. 故 ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} )=\{(2)/(6),(3)/(6)\}=\{{\bar {2}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,{\bar {3}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \}$

表12：常见商环的素谱

商环	素谱	极大谱
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$\{(p)/(n):p\mid n,p{\text{ 素数}}\}$	同素谱
$k[x]/(f)$, $f$ 无平方因子	$\{(p_{i})/(f):f=\prod p_{i}\}$	同素谱
$k[x,y]/(xy)$	$\{(x)/(xy),(y)/(xy)\}$	同素谱
$k[x]/(x^{2})$	$\{(x)/(x^{2})\}$	同素谱