环的基本概念

本节定义环、单位、零因子、整环、域、子环与同态等，并给出常见例子与通用性质。

定义：环 $(R,+,\cdot )$ 是集合 $R$ ，带加法阿贝尔群结构与乘法半群结构，乘法对加法分配。

交换环：若对所有 $a,b\in R$ 有 $ab=ba$ ，称为交换环。

含幺环：存在乘法单位元 $1_{R}$ 满足 $1_{R}a=a1_{R}=a$ 。

单位群： $R^{\times }=\{u\in R\mid \exists v\in R,\ uv=1_{R}\}$ ；单位可逆。

零因子： $a\neq 0$ 且存在 $b\neq 0$ 使 $ab=0$ ，则 $a$ 为零因子。

幂零元： $a\neq 0$ 且存在 $n\geq 1$ 使 $a^{n}=0$ 。

整环：无零因子的交换环；消去律成立： $ab=ac,a\neq 0\Rightarrow b=c$ 。

域：每个非零元都可逆的交换环；域必为整环。

子环： $S\subseteq R$ 在加乘下封闭且含 $1$ （若要求含幺）则为子环。

理想预告：理想是对被乘吸收的加法子群，是商环的入口。

多项式环： $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 由不定元与系数组成；继承 $R$ 的结构。

矩阵环： $M_{n}(R)$ 构成环；通常非交换但在交换代数中常用作例证。

函数环： $R^{X}$ 点态加乘形成环，用于几何直觉。

环同态： $\varphi :R\to S$ 满足 $\varphi (1)=1$ 、 $\varphi (a+b)=\varphi (b)+\varphi (a)$ 、 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ 。

核与像： $\ker \varphi =\{a\in R\mid \varphi (a)=0\}$ ， $\operatorname {Im} \varphi$ 为像。

基本定理： $R/\ker \varphi \cong \operatorname {Im} \varphi$ ；商与像对应。

可逆性检测： $a$ 可逆当且仅当存在 $b$ 使 $ab=1$ 。

特征：最小正整数 $n$ 使 $n\cdot 1_{R}=0$ ，无则特征 $0$ 。

幂等元： $e^{2}=e$ ；对应直和分解与剩余分解。

直积环： $R\times S$ 分量运算成环；幂等元 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 。

零环： $0=1$ 的环；所有元素为零。

同构：存在双射同态且逆也是同态，记 $R\cong S$ 。

同态分解：任意同态因子化为满射加单射的组合（经商环与包含）。

单位与谱：单位不属于任何极大理想；与 $\operatorname {Spec} (R)$ 的结构相关。

局部环预告：仅有一个极大理想的环，常记 $(R,{\mathfrak {m}})$ 。

例子： $\mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} [x],\ \mathbb {F} _{p}[x,y],\ \mathbb {C} [x]/(x^{2})$ 。

例子： $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 非 UFD，显示唯一分解的失败。

例子：赋值环与幂级数环 $\mathbb {k} [[t]]$ 。

代数闭包背景：极大理想与“点”的对应在代数闭域更干净。

环的构造：直和、直积、局部化、商与张量扩张在后续常用。

模的预告：模是环上的“向量空间一般化”，与理想、同态关系密切。

小结：环融合加法群与乘法半群，允许构造理想与商，为交换代数的结构理论搭台。

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