交换代数/集合与映射复习

集合与映射复习

本节回顾集合与映射的核心语法，为交换代数中的同态、核、像、商等概念打基础。我们记集合为 $X,Y,Z$，映射为 $f:X\to Y$。

定义：函数 $f:X\to Y$ 为规则，将每个 $x\in X$ 指派到唯一的 $f(x)\in Y$。

记号：像与原像。像 $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$；对 $A\subseteq Y$，原像 $f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\}$。

单射：$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$。

满射：$\forall y\in Y\,\exists x\in X:\ f(x)=y$。

双射：既单又满；存在逆映射 $f^{-1}:Y\to X$。

函数与纤维示意图

复合：若 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to Z$，则 $g\circ f:X\to Z$。

恒等映射：$\operatorname {id} _{X}(x)=x$。

纤维：对 $y\in Y$，$f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}$。

限制：若 $A\subseteq X$，则 $f|_{A}:A\to Y$。

余限制：若 $B\subseteq Y$ 且 $f(A)\subseteq B$，可看作 $f:A\to B$。

笛卡尔积：$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$。

投影：$\pi _{1}(x,y)=x$ 与 $\pi _{2}(x,y)=y$。

图像（图）：$\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y$。

等价关系：自反、对称、传递的关系 $\sim$；商集 $X/{\sim }$。

分划：等价类形成对 $X$ 的分划；反之分划定义等价关系。

核等价：给定 $f$，定义 $x\sim x'$ 当且仅当 $f(x)=f(x')$；则 $X/{\sim }\cong f(X)$。

置换与群：有限集合的自同构构成对称群 $S_{n}$。

偏序：集合上的二元关系 $\leq$，满足自反、反对称、传递。

单调映射：$x\leq x'\Rightarrow f(x)\leq f(x')$；在理想格中常见。

范畴直觉：对象是集合，态射是函数；复合满足结合律，恒等是单位。

函子直觉：将对象与态射一起“送走”的结构保持过程。

极限与余极限直觉：积、余积、等化子、余等化子在集合范畴均存在。

初等计数：若 $|X|=m,|Y|=n$（有限），函数数目为 $n^{m}$。

单射计数：从 $[m]$ 到 $[n]$ 的单射有 $n(n-1)\cdots (n-m+1)$（$n\geq m$）。

双射计数：当 $m=n$ 时为 $n!$。

纤维分解：有限情形下 $|X|=\sum _{y\in f(X)}|f^{-1}(y)|$。

像与原像关系示意

原像像关系：$A\subseteq X$ 则 $A\subseteq f^{-1}(f(A))$。

像原像关系：$B\subseteq Y$ 则 $f(f^{-1}(B))\subseteq B$。

结构保持：后续的环同态、模同态都是“保结构的函数”。

直积的通用性质：给定到 $X$ 和 $Y$ 的态射，存在唯一到 $X\times Y$ 的态射。

商的通用性质：给定把等价类合并的映射，唯一因子化经商集。

子集与指示函数：$\chi _{A}:X\to \{0,1\}$ 描述集合 $A$。

特征函数运算：交并补对应点态乘加与取反。

函数集：$Y^{X}$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的所有函数集合。

二元关系作为子集：$R\subseteq X\times X$；合成与逆是集合操作。

纤维积直觉：集合上的纤维积是拉回方块，对应“同时满足两条件”的元集合。

映射的像-核图：核刻画等价类，像刻画可达元素。

端与余端（极简术语）：常值映射与常元对象在范畴语言中有端的类比。

选择函数：从每个非空子集选一个元素，关联选择公理的直觉但本页不深入。

指数对象：函数集 $Y^{X}$ 的直觉为“以 $X$ 为索引的 $Y$ 的族”。

结束语：集合与映射的语法将贯穿交换代数的同态、核、像与商构造。

总表

主题	定义/公式	直觉
像	$f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$	可达元素集合
原像	$f^{-1}(A)=\{x\mid f(x)\in A\}$	使像落入 A 的点
单射	$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$	无碰撞

主题	条件	结论
满射	$\forall y\in Y\ \exists x\in X:f(x)=y$	全覆盖
双射	单且满	存在逆映射
复合	$g\circ f$	过程串联

结构	描述	例子
积	$X\times Y$	有序对集合
投影	$\pi _{1},\pi _{2}$	取分量
图	$\Gamma _{f}$	函数图像

关系	性质	商集
等价关系	自反、对称、传递	$X/{\sim }$
分划	等价类集合	反向定义关系
核等价	$f(x)=f(x')$	类与像对应

积与投影的通用性质

计数对象	公式	适用
函数数目	$n^{m}$	$|X|=m,|Y|=n$
单射数目	$n(n-1)\cdots (n-m+1)$	$n\geq m$
双射数目	$n!$	$m=n$

包含关系	公式	说明
原像像	$A\subseteq f^{-1}(f(A))$	信息不增
像原像	$f(f^{-1}(B))\subseteq B$	保守性
纤维分解	$|X|=\sum |f^{-1}(y)|$	有限分解

范畴术语	对象/态射	通用性质
积	对象对与投影	唯一态射
余积	并与注入	唯一态射
等化子	使两映射相等	拉回

函数环视角	定义	直觉
函数环	点态加乘	几何化
指示函数	$\chi _{A}$	逻辑到代数
指数对象	$Y^{X}$	家族