初中数学（香港课程）/全等/2

所有三个对应角和三条对应边相等的三角形皆是全等三角形。

• 若果两个三角形有共同边或角，产生对应边或对应角可满足全等的条件。如：$ST=ST$（共同边）

三边相等

只要有三条边的长度，可以作出一个独特的三角形。如果两个三角形有一边不相等，就会作出不同形状的三角形

同样道理，只要有三条对应边相等，两个三角形便全等（简称：SSS）

示范例子1 三角形$\Delta DEF$内，$DE=8$ cm、$EF=2$ cm和$DF=11$ cm。三角形$\Delta XYZ$内，$XY=8$ cm、$YZ=2$ cm和$XZ=11$ cm，证明$\Delta DEF\cong \Delta XYZ$ 解 $DE=XY=8$ cm（给予） $EF=YZ=2$ cm（给予） $DF=XZ=11$ cm（给予） $\Delta DEF\cong \Delta XYZ$（SSS）

同类习题1 {{{3}}}

两边和一夹角相等

有两条边的长度，夹角亦被定下，可以作出第三边，可以作出一个独特的三角形。

如果有两条对应边相等，并且形成的对应夹角相等，两个三角形便全等（简称：SAS）

示范例子2 三角形$\Delta ABC$和$\Delta PQR$，$AC=PQ$、$AB=PR$、$\angle A=54^{\circ }$和$\angle P=54^{\circ }$。写出一对全等三角形，并证明答案 解 $AC=PQ$（给予） $\angle A=\angle P=54^{\circ }$（给予） $AB=PR$（给予） $\therefore \Delta CAB\cong \Delta QPR$ （SAS）

同类习题2 {{{3}}}

一边和两个角相等

有一条边的长度，并沿指定两个邻角延伸，终会相交形成独特的三角形。

如果有条对应边相等，并且边的两只邻角相等，两个三角形便全等（简称：ASA）

探究
有$\Delta ABC$和$\Delta PQR$内的$\angle A=\angle P=a$、$\angle B=\angle Q=b$、$BC=QR$ 以a和b表示$\angle C$和$\angle R$，写出此关系 利用ASA，证明$\Delta ABC\cong \Delta PQR$

因为三角形内角和，如果两个对应角相等，并且有一对非夹边相等，两个三角形便全等（简称：AAS）

示范例子3 于$\Delta DEF$、$\Delta MNO$和$\Delta XYZ$中，$\angle D=\angle M=\angle X$。 给定$\angle E=18^{\circ }$、$\angle Y=18^{\circ }$、$\angle F=36^{\circ }$、$\angle O=36^{\circ }$和$DE=MN=XY=4$ 证明$\Delta DEF\cong \Delta MNO\cong \Delta XYZ$ 解 $\because DE=XY=4$（给予） $\angle D=\angle X$（给予） $\angle E=\angle Y=18^{\circ }$（给予） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta XYZ$（ASA） $\because DE=MN=4$（给予） $\angle D=\angle M$（给予） $\angle F=\angle O=36^{\circ }$（给予） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta MNO$（AAS） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta MNO\cong \Delta XYZ$

同类习题3 {{{3}}}

直角三角形的斜边和另一边相等

使用一个圆的半径，可以作出两个两条边和一非夹角的锐角相等的三角形。两条对应边和一对应非夹角并不是全等的判别条件。

直角对面的边是斜边，直角三角形并不出现上述情况。直角三角形的斜边和另一对应边相等，两个三角形便全等（简称：RHS）

示范例子4 给定MN上有$\Delta LMN$和$\Delta OMN$，假设$LM=7$ cm、$OM=7$ cm和$\angle LMN=\angle OMN=90^{\circ }$。证明$\Delta LMN\cong OMN$ 解 $MN=MN$（共同边） $LM=OM=9$ cm（给定） 解析失败 (未知函数“\corc”): {\displaystyle \angle LMN=\angle OMN=90^\corc} （给定） $\therefore \Delta LMN\cong \Delta OMN$（RHS）

同类习题4 {{{3}}}