初中数学（香港课程）/多项式的因式/1

一个多项式的因式为乘上其它多项式可成为原本的多项式的多项式

因式分解是把多项式表达多个无法再因式分解的因式之积的过程，即展开的逆转

例子：把 $4 (a + 2)$ 展开得 $4 a + 8$ ；相反地，把 $4 a + 8$ 因式分解得 $4 (a + 2)$ 。其中，4和 $a + 2$ 为 $4 a + 8$ 的因式。

提取公因式

两个项的共同因式称作公因式

通过把每个项表示为公因式和馀下因式的积，可套用乘法分配性质 $a b + a c = a (b + c)$ 逆转展开，进行因式分解

馀下因式为原本的项除以公因式

示范例子1

因式分解

$18 m n - 27 n$
$- 5 x - 35$
$6 p^{2} q^{3} + 24 p q^{2}$

解

$18 m n - 27 n = 9 n \cdot 2 m - 9 n \cdot 3 = 9 n (2 m - 3)$
$- 5 x - 35 = x (- 5) + 7 (- 5) = - 5 (x + 7)$
$6 p^{2} q^{3} + 24 p q^{2} = 6 p q^{2} \cdot p + 6 p q^{2} \cdot 4 q = 6 p q^{2} (p + 4 q)$

分组并项法

若果不能将所有项提取公因式，可先把有公因式的项独立处理，提取公因式。不邻近的项需重排才能因式分解

最终答应需为因式的乘积，不应有其它项

示范例子3

因式分解

$c^{2} - c d + 5 c - 5 d$
$4 u + 3 v - 36 u^{2} - 27 u v$
$99 r^{3} - 14 s^{2} + 77 r^{2} s - 18 r s$

解

$c^{2} - c d + 5 c - 5 d = c (c - d) + 5 (c - d) = (c + 5) (c - d)$
$4 u + 3 v - 36 u^{2} - 27 u v = (4 u + 3 v) - 9 u (4 u + 3 v) = (1 - 9 u) (4 u + 3 v)$
$\begin{matrix} 99 r^{3} - 14 s^{2} + 77 r^{2} s - 18 r s & = 99 r^{3} + 77 r^{2} s - 18 r s - 14 s^{2} \\ = 11 r^{2} (9 r + 7 s) + 2 s (9 r + 7 s) = (11 r^{2} + 2 s) (9 r + 7 s) \end{matrix}$

同类习题3

{{{3}}}

示范例子4

因式分解

$(8 h - 1)^{2} - 3 + 24 h$
$7 w^{2} - 35 w + 6 l w - 30 l + 4 l^{2} w - 20 l^{2}$

解

$\begin{matrix} (8 h - 1)^{2} - 3 + 24 h & = (8 h - 1) (8 h - 1) - 3 (1 - 8 h) \\ = (8 h - 1) (8 h - 1) + 3 (8 h - 1) \\ = (8 h - 1 + 3) (8 h - 1) \\ = (8 h + 2) (8 h - 1) = 2 (4 h + 1) (8 h - 1) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 7 w^{2} - 35 w - 6 l w + 30 l + 4 l^{2} w - 20 l^{2} & = 7 w (w - 5) - 6 l (w - 5) + 4 l^{2} (w - 5) \\ = (7 w - 6 l + 4 l^{2}) (w - 5) \end{matrix}$

替代解（第2题） $\begin{matrix} 7 w^{2} - 35 w - 6 l w + 30 l + 4 l^{2} w - 20 l^{2} & = 7 w^{2} - 6 l w + 4 l^{2} w - 35 w + 30 l - 20 l^{2} \\ = w (7 w - 6 l + 4 l^{2}) - 5 (7 w - 6 l + 4 l^{2}) \\ = (w - 5) (7 w - 6 l + 4 l^{2}) \end{matrix}$