初中数学（香港课程）/恒等式与公式/1

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考虑下列方程 $x-1=x+2$ $3(h+9)=3h+27$ 尝试解方程1和2 方程1和2能否被解？ 部分方程未必能解，用下列的表试值：<

方程式可以没有解或有无限多解，并不一定只有唯一一个解

有无限多解的方程为恒等式，可以用“$\equiv$”取代恒等式的等号

证明

当方程的左边和右边为相同的代数式，显然为恒等式。

通过展开和化简两边的代数式，可证明恒等式

示范例子1 证明下列恒等式 $8(y-1)+6y\equiv 2(7y+4)$ ${\frac {n+4}{5}}+{\frac {3n-2}{9}}\equiv {\frac {24n+26}{45}}$ 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=8(y-1)+6y&{\text{R.H.S.}}&=2(7y-4)\\&=8y-8+6y&&=14y-8\\&=14y-8\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}={\text{R.H.S.}}$ $\therefore$ 这个是恒等式 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&={\frac {n+4}{5}}+{\frac {3n-2}{9}}\\&={\frac {9(n+4)}{45}}+{\frac {5(3n-2)}{9}}\\&={\frac {9n+36+15n-10}{45}}&={\frac {24n+26}{45}}={\text{R.H.S.}}\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}={\text{R.H.S.}}$ $\therefore$ 这个是恒等式

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 判断$(p+9)(7p-6)=7p(p-5)+3(p+18)$是否恒等式 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=(p+9)(7p-6)&{\text{R.H.S.}}&=7p(p+9)-6(p-3)\\&=7p^{2}-6p+63p-54&&=7p^{2}+63p-6p-18\\&=7p^{2}+57p-54&7p^{2}+57p-18\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}\neq {\text{R.H.S.}}$ $\therefore$不是恒等式

同类习题2 {{{3}}}

求常数

利用含未知常数的恒等式，可通过比较两边的同类项，得出未知常数的值

示范例子3 给予$6(q-5)+A\equiv Bq+8$，求常数$A$和$B$ 解 ${\text{L.H.S.}}=6(q-5)+A=6q-30+A$ $\therefore 6q-30+A\equiv Bq+8$ ${\begin{aligned}B=6&&-30+A&=8\\&&A&=38\end{aligned}}$

同类习题3 {{{3}}}

示范例子4 给予$(Az-9)(5z+B)\equiv 10z(z-7)+C$，求常数$A$、$B$和$C$ 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=(Az-9)(5z+B)&{\text{R.H.S.}}&=7z(z-4)+C\\&=5Az^{2}+ABz-40z-9Bz&&=10z^{2}-40+C\end{aligned}}$ $\therefore 5Az+ABz-40z-9Bz\equiv 10z^{2}-70z+C$ ${\begin{aligned}5A&=10&2B-40&=-70&C&=-9\cdot 15\\A&=2&2B&=30&C&=-135\\&&B&=15\end{aligned}}$

同类习题4 {{{3}}}