初中数学（香港课程）/求积法/1

圆形

探究活动
一张圆形的纸张 均分为8份。 试重排这些小份为一个类似长方形的图形 如何求长方形的面积 所以圆形的面积（大概）是：

我们均分一个半径r、周长C的圆形为小份，重排为长方形后，周长C成为长方形的两边，即长为周长的一半（${\frac {1}{2}}C$），小份的半俓r成为宽，即原本的半径r。

这个只近似长方形，面积约是

${\begin{aligned}A&\approx {\frac {1}{2}}C\cdot r\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}$

每份愈少，重排得出的图形愈接近长方形。假设切无限份，圆形的面积等同长方形面积，即$\pi r^{2}$

示范例子1 求一个直径为6 cm的圆的面积（以$\pi$表示） 假设一个圆的面积为$25\pi$，求半径 $\pi ({\frac {6}{2}})^{2}=9\pi$ 设半径为r ${\begin{aligned}\pi r^{2}&=25\pi \\r^{2}&=25\\r&=5\end{aligned}}$

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 一个复合图形并上了梯形的下底和半圆的直径，若果半圆的直径是4 cm、梯形的上底与高分别为1 cm和 7 cm，求复合图形的面积（取三位有效数字） $\pi \cdot 4^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 7(1+4)\approx 67.8$ cm2

同类习题2 {{{3}}}

圆柱体的体积

圆柱体可以使用角柱体的公式（底面积 $\times$ 高）。同样分割能重组为长方体。

假设高为h

圆柱体体积 $=$ 底面积 $\times$ 高 $=\pi r^{2}h$（套入圆形底的面积，r为半径）

示范例子3 圆柱体的半径7 cm，高10 cm，求体积（以$\pi$表示</math>） 圆柱体的半径3 cm，体积250 cm2，求高。（取三位有效数字） $10\pi \cdot 7^{2}=490\pi$ 设高为h ${\begin{aligned}3^{2}\cdot \pi h&=250\\h&=8.84\end{aligned}}$ 高是8.84 cm

同类习题3 {{{3}}}

示范例子4 一个金属制边长20 cm的正方体内割开了贯穿整个立体、半径4 cm的圆柱体小洞。 求体积（答案取至一位小数位） 若果这个立体被熔掉，并重塑为高9 cm的圆柱体，求圆柱体的半径（答案取三位有效数字） 解 $20^{3}-4^{2}\cdot 20\pi =6\ 994.7$ 设半径为r ${\begin{aligned}9\pi r^{2}&=699\ 4.7\\r^{2}&=777.189\\r&=27.9\end{aligned}}$ 圆柱体的半径是27.9 cm

同类习题4 {{{3}}}

示范例子5 一个灌了水的圆柱体的水缸半径8 cm，现放置40枚半径2 cm、高0.3 cm</math>的硬币。 假设没有溢出，水位上升了多少？ 若果原本水位是6 cm，而水缸高9 cm，水会不会溢出？ （取至三位有效数字） $40\cdot 2^{2}\cdot 0.9\pi =144\pi$ 设水位上升了l cm ${\begin{aligned}8^{2}\cdot \pi l&=144\pi \\l&=2.25\end{aligned}}$ 水位上升了2.25 cm $6+2.25=8.25$ 新水位是8.25 cm $\because 8.25\ {\text{cm}}<9\ {\text{cm}}$ $\therefore$ 不会溢出

同类习题5 {{{3}}}