初中数学（香港课程）/角的定理/3

三角形内角和

三角形三只内角的总和是180°（简写：$\Delta$内$\angle$和）

证明：考虑三角形$\Delta XYZ$，$\angle Y=p$、$\angle YXZ=q$和$\angle Z=r$。

作一条线VW，穿过点X且$VW\ //\ YZ$

$\angle VXY=p$（内错$\angle$）

$\angle WXZ=r$（内错$\angle$）

$p+q+r=180^{\circ }$（直线上的邻$\angle$）

示范例子1 如果$\Delta PQR$中，$\angle P=18^{\circ }$、$\angle Q=90^{\circ }$和$\angle R=w$，求w 解 ${\begin{aligned}w+18^{\circ }+90^{\circ }&=180^{\circ }\\w&=72^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$内$\angle$和）

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 给定BDC为一直线。假设$\Delta ABC$和$\Delta ADB$中，$\angle A=72^{\circ }$、$\angle DBC=45^{\circ }$、$\angle C=22.5^{\circ }$、$\angle ABD=m$和$\angle ADB=n$。求m和n 解 ${\begin{aligned}72^{\circ }+m+45^{\circ }+22.5^{\circ }&=180^{\circ }\\m&=40.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$内$\angle$和） ${\begin{aligned}40.5^{\circ }+n+72^{\circ }&=180^{\circ }\\n&=67.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$内$\angle$和）

同类习题2 {{{3}}}

示范例子3 给定直线UWV、$\Delta WXY$和YZ中，$\angle UWX=67.5^{\circ }$、$\angle VWY=30^{\circ }$、$\angle XYZ=126^{\circ }$、$\angle WYZ=105^{\circ }$，求$\angle X$。 解 ${\begin{aligned}67.5^{\circ }+\angle XWY+30^{\circ }&=180^{\circ }\\\angle XWY&=82.5^{\circ }\end{aligned}}$（直线上的邻$\angle$） ${\begin{aligned}126^{\circ }+165^{\circ }+\angle XYW&=360^{\circ }\\\angle XWY&=69^{\circ }\end{aligned}}$（同顶$\angle$） ${\begin{aligned}82.5^{\circ }+69^{\circ }+\angle X&=180^{\circ }\\\angle XWY&=28.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$内$\angle$和）

同类习题3 {{{3}}}

三角形外角

以平面图形的一边的延伸线，以及另一边形成的角称为该图形的外角

• 三角形中的外角会和相邻的内角为邻角，并于同一直线上

考虑三角形有内角a、b和c，以及与c相邻的外角d

$a+b+c=180^{\circ }$（$\Delta$内$\angle$和）

$d+c=180^{\circ }$（直线上的邻$\angle$）

${\begin{aligned}a+b+c&=d+c\\a+b{\cancel {+c}}\color {red}{\cancel {-c}}&=d{\cancel {+c}}\color {red}{\cancel {-c}}\\a+b&=d\end{aligned}}$

三角形的外角相等于不相邻的两只内角总和（简写：$\Delta$的外$\angle$）

示范例子4 $\Delta LMN$和直线MNO中，$\angle M=k$、$\angle L=k+60^{\circ }$和$\angle LNO=4k$，求k。 解 ${\begin{aligned}k+k+60^{\circ }&=4k\\60^{\circ }&=2k\\k&=30^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$外$\angle$）

同类习题4 {{{3}}}