初中数学（香港课程）/角的定理/3

三角形内角和

三角形三只内角的总和是180°（简写：$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和）

证明：考虑三角形$\mathrm{\Delta }XYZ$，$\mathrm{\angle }Y=p$、$\mathrm{\angle }YXZ=q$和$\mathrm{\angle }Z=r$。

作一条线VW，穿过点X且$VW//YZ$

$\mathrm{\angle }VXY=p$（内错$\mathrm{\angle }$）

$\mathrm{\angle }WXZ=r$（内错$\mathrm{\angle }$）

$p+q+r=180^{\circ }$（直线上的邻$\mathrm{\angle }$）

示范例子1 如果$\mathrm{\Delta }PQR$中，$\mathrm{\angle }P=18^{\circ }$、$\mathrm{\angle }Q=90^{\circ }$和$\mathrm{\angle }R=w$，求w 解 $\begin{array}{cc}w+18^{\circ }+90^{\circ }& =180^{\circ }\\ w& =72^{\circ }\end{array}$（$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和）

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 给定BDC为一直线。假设$\mathrm{\Delta }ABC$和$\mathrm{\Delta }ADB$中，$\mathrm{\angle }A=72^{\circ }$、$\mathrm{\angle }DBC=45^{\circ }$、$\mathrm{\angle }C=22.5^{\circ }$、$\mathrm{\angle }ABD=m$和$\mathrm{\angle }ADB=n$。求m和n 解 $\begin{array}{cc}72^{\circ }+m+45^{\circ }+22.5^{\circ }& =180^{\circ }\\ m& =40.5^{\circ }\end{array}$（$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和） $\begin{array}{cc}40.5^{\circ }+n+72^{\circ }& =180^{\circ }\\ n& =67.5^{\circ }\end{array}$（$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和）

同类习题2 {{{3}}}

示范例子3 给定直线UWV、$\mathrm{\Delta }WXY$和YZ中，$\mathrm{\angle }UWX=67.5^{\circ }$、$\mathrm{\angle }VWY=30^{\circ }$、$\mathrm{\angle }XYZ=126^{\circ }$、$\mathrm{\angle }WYZ=105^{\circ }$，求$\mathrm{\angle }X$。 解 $\begin{array}{cc}67.5^{\circ }+\mathrm{\angle }XWY+30^{\circ }& =180^{\circ }\\ \mathrm{\angle }XWY& =82.5^{\circ }\end{array}$（直线上的邻$\mathrm{\angle }$） $\begin{array}{cc}126^{\circ }+165^{\circ }+\mathrm{\angle }XYW& =360^{\circ }\\ \mathrm{\angle }XWY& =69^{\circ }\end{array}$（同顶$\mathrm{\angle }$） $\begin{array}{cc}82.5^{\circ }+69^{\circ }+\mathrm{\angle }X& =180^{\circ }\\ \mathrm{\angle }XWY& =28.5^{\circ }\end{array}$（$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和）

同类习题3 {{{3}}}

三角形外角

以平面图形的一边的延伸线，以及另一边形成的角称为该图形的外角

• 三角形中的外角会和相邻的内角为邻角，并于同一直线上

考虑三角形有内角a、b和c，以及与c相邻的外角d

$a+b+c=180^{\circ }$（$\mathrm{\Delta }$内$\mathrm{\angle }$和）

$d+c=180^{\circ }$（直线上的邻$\mathrm{\angle }$）

$\begin{array}{cc}a+b+c& =d+c\\ a+b+c-c& =d+c-c\\ a+b& =d\end{array}$

三角形的外角相等于不相邻的两只内角总和（简写：$\mathrm{\Delta }$的外$\mathrm{\angle }$）

示范例子4 $\mathrm{\Delta }LMN$和直线MNO中，$\mathrm{\angle }M=k$、$\mathrm{\angle }L=k+60^{\circ }$和$\mathrm{\angle }LNO=4k$，求k。 解 $\begin{array}{cc}k+k+60^{\circ }& =4k\\ 60^{\circ }& =2k\\ k& =30^{\circ }\end{array}$（$\mathrm{\Delta }$外$\mathrm{\angle }$）

同类习题4 {{{3}}}