开方

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开方是乘法的逆运算,是第5种算法,现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方,现在有开平方公式和开立方公式。 参考文献:【数学传播】136期,从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法

求方根公式[编辑]

=

开立方公式[编辑]

 

  例如,A=5,k=3,即求:

   5介于之间(1的3次方=1,2的3次方=8)

  初始值可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我们取按照公式:

  第一步:=1.75。输入值大于输出值,负反馈;

即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。

  第二步:=1.71.输入值小于输出值,正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。

  第三步:=1.709.

  第四步:=1.7099

  这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值

偏小,输出值自动转大。即.

  当然初始值也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是。当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5。=1.7。


开平方公式[编辑]

如果用这个公式开平方,只需将改成,1/3改成1/2。即

例如,A=5:

5介于之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取

中间值2.5。

第一步:=2.2;

即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2。

第二步:=2.23; 即5/2.2=2.272727,2.272727-2.2=-0.072727,-0.072727×1/2=-0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位数。

第三步:=2.236;

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。计算次数与计算精确度成为正比。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。

这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。