微积分学/重积分

直角坐标

例题

四

求 x+2y+z= 2、x=2y、x=0 和 z=0 所围的四面体体积。

$V=\int _{0}^{1}\int _{x/2}^{1-2/x}2-x-2y\,dydx$

五

$\int _{0}^{1}\int _{x}^{1}\sin y^{2}dydx$

估计

定义

$mA\leq \int f(x,y)dA\leq MA$

例题

六

用上述定义，估计 $\int e^{\sin x\cos y}dA$，D 为在 xy 面上中心原点，半径 2 的圆盘。

${\frac {4\pi }{e}}\leq \int f(x,y)dA\leq 4\pi e$

代换法

例题

三

$\iint _{R}e^{\frac {x+y}{x-y}}dA$，R 是顶点 (1,0)、(2,0)、(0,-2)、(0,-1) 所围的梯形。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {3}{4}}\left(e-{\frac {1}{e}}\right)\end{aligned}}$

习题

参见：微积分学/重积分/习题 § 代换法

极座标

例题

一

$\iint _{R}3x+4y^{2}dA$，R 是 x²+y²=1 和 x²+y²=4 上半部。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {15\pi }{2}}\end{aligned}}$

二

求 z=0 和 z=1-x²-y² 所围体积。

${\begin{aligned}&V=\int 1-x^{2}-y^{2}dA\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

三

求 z=0、z=x²+y² 和 x²+y²=2x 所围体积。

${\begin{aligned}&V=\int x^{2}+y^{2}dA\\&={\frac {3\pi }{2}}\end{aligned}}$

习题

参见：微积分学/重积分/习题 § 极座标

圆柱座标

例题

三

由 z=4、x²+y²=1 和 x²+y²+z=1 所围的区域，密度和圆柱轴心距离成比例，求质量。

习题

九

$\iiint _{E}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}dV$，E 是 z=-5、z=4 和 x²+y²=16 所围的区域。

${\begin{aligned}&\\&=384\pi \end{aligned}}$

十一

$\iiint _{E}x^{2}dV$，E 是 z=0、x²+y²=1 和 z²=4(x²+y²) 所围的区域。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {2\pi }{5}}\end{aligned}}$

球座标

例题

三

求单位球 $\int e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}dV$。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {4\pi \left(e-1\right)}{3}}\end{aligned}}$