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数理统计/假设检验基础

维基教科书，自由的教学读本

数理统计/假设检验基础

学习目标

目标项	内容
假设框架	原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域
错误类型	第一类错误、第二类错误、检验功效
常见检验	均值、方差、比例与两样本检验

侧重能力	说明
构造统计量	使用枢轴量或似然比
控制显著性	给定 $\alpha$ 设计拒绝域
计算功效	评估样本量与效应大小

常见误区	对策
把 p 值当成原假设为真的概率	解释为在原假设下的数据极端度
仅看显著不看效应与区间	同时报效应大小与置信区间
多重比较未校正	采用校正或预注册

基本概念

假设: 原假设 $H_{0}$ 与备择 $H_{1}$ 。选择显著性水平 $\alpha$ 与检验统计量 $T(X)$ ，定义拒绝域 $R$ 。

p 值: 在 $H_{0}$ 为真时，观测到不少于当前极端的统计量的概率。若 $p\leq \alpha$ ，拒绝 $H_{0}$ 。

概念	记号	含义
第一类错误	$\alpha$	拒真
第二类错误	$\beta$	受假
功效	$1-\beta$	拒假成功概率

结果呈现	规范	提示
p 值	精确或阈值（如 < 0.05）	给出方法与双/单侧
效应大小	差值/比值/标准化量	结合置信区间
前提条件	分布、独立、方差同质等	必要时稳健替代

单总体检验

均值（方差已知，正态或大样本）: $Z={\dfrac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$ ，双侧拒绝域 $|Z|>z_{1-\alpha /2}$ 。

均值（方差未知，正态）: $T={\dfrac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$ ，双侧拒绝域 $|T|>t_{n-1,1-\alpha /2}$ 。

方差（正态）: ${\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma _{0}^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$ ，按单/双侧给出拒绝域。

比例（大样本）: ${\hat {p}}=Y/n$ ， $Z={\dfrac {{\hat {p}}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})/n}}}$ 。

目标	统计量	分布	备注
均值-已知方差	$Z$	正态	亦作近似
均值-未知方差	$T$	$t$	正态前提
方差	比例化 $\chi ^{2}$	$\chi ^{2}$	正态前提
比例	$Z$	正态近似	样本量要求

两总体检验

两均值差: 方差相等时用合并方差 t；不等方差时用不等方差 t（自由度近似）。

两方差比: $F={\dfrac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}\sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ ，据单/双侧设拒绝域。

两比例差: ${\hat {d}}={\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}$ ，大样本下 $Z={\dfrac {\hat {d}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})({\tfrac {1}{n_{1}}}+{\tfrac {1}{n_{2}}})}}}$ ，其中 ${\hat {p}}$ 为合并比例（用于原假设 $p_{1}=p_{2}$ ）。

目标	条件	统计量/分布
均值差	正态/大样本；独立	t 检验
方差比	正态；独立	F 检验
比例差	样本量适中偏大	Z 检验（合并比例）

p 值与功效

p 值计算: 根据检验统计量在 $H_{0}$ 下的分布计算尾部概率，双侧需乘以 2 或对称处理。

功效分析: 给定效应大小与样本量，计算 $1-\beta$ ；反过来可据目标功效求所需样本量。

要素	作用	提示
效应大小	决定功效	标准化差/比值
样本量	提升功效	代价与可行性
显著性	控制一类错	常见 0.05/0.01

决策与报告

同时报告 p 值、效应大小与置信区间，说明假设与方法。避免“仅显著”的结论。

报告项	示例（范式）	说明
统计量与自由度	$t(58)=2.15$	明确分布信息
p 值	$p=0.036$	精确或阈值
区间	95% 区间： $[L,U]$	与显著性互证

章节测验

单选题一: 下列哪种说法正确？

p 值等于原假设为真的概率
若 $p=0.03$ 且 $\alpha =0.05$ ，应拒绝 $H_{0}$
p 值越大越说明备择为真
只要样本大就一定显著

显示答案/解析

答案：2。p 值是数据在

H_{0}

下的极端度量。

单选题二: 比较两总体方差常用统计量是：

$t$
$F$
$z$
$\chi ^{2}$

显示答案/解析

答案：2。

计算题: 某单样本 t 检验， $n=25$ ， ${\bar {X}}=5.2$ ， $\mu _{0}=5$ ， $S=1$ ，求双侧检验的统计量与是否在 $\alpha =0.05$ 下拒绝。

显示答案/解析

解：

t={\dfrac {5.2-5}{1/{\sqrt {25}}}}=1.0

，自由度 24；临界值

t_{24,0.975}\approx 2.064

，不拒绝

H_{0}

。

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