经典力学/作用角变量与可积系统

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作用-角变量与可积系统

• 可积系统：具有$n$自由度的哈密顿系统若存在$n$个两两泊松对易且独立的守恒量，则为李乌维尔可积。

• 作用-角坐标：通过正则变换引入作用 $J_{i}$ 与角 $\theta _{i}$，使哈密顿量仅依赖 $\mathbf {J}$，即 $H=H(\mathbf {J} )$，演化为 ${\dot {\theta }}_{i}={\dfrac {\partial H}{\partial J_{i}}}=\omega _{i}(\mathbf {J} )$，${\dot {J}}_{i}=0$。

• 作用的定义（单自由度）：$J={\dfrac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$，积分 over 一个周期闭合轨道。

• 频率与拍频：不同模态的 $\omega _{i}$ 组合决定准周期运动；近简并时出现拍频与慢相位漂移。

• 示例（谐振子）：$H=\omega J$，角变量匀速演化；$J$ 正比于能量。

练习

1. 对一维谐振子，计算$J={\dfrac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$并证明$H=\omega J$。
2. 在中心力问题中，写出径向与角向的两个作用量定义，并讨论其与轨道闭合条件的关系。