经典力学/功与功率

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功与功率

• 功定义：力对位移做的标量积，$W={\int }_{{𝐫}_1}^{{𝐫}_2}𝐅\cdot d𝐫$；恒力沿直线：$W=𝐅\cdot \mathrm{\Delta }𝐫$。

• 功率：做功速率，瞬时功率 $P=\frac{dW}{dt}=𝐅\cdot 𝐯$；平均功率 $\overline{P}=\frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}$。

• 正/负功：$𝐅$ 与 $d𝐫$ 同向为正功，反向为负功；摩擦与阻力通常做负功。

• 功-能定理：质点 $\mathrm{\Delta }K=W_{\text{合}}$，其中 $K=\frac{1}{2}m{v}^2$。

• 曲线运动：若 $𝐅$ 与速度垂直，则 $P=0$，如匀速圆周中的向心力不做功。

典型计算

1. 变力沿 x 方向：$W={\int }_{x_1}^{x_2}F(x)dx$
2. 弹簧力：$W=\int -kxdx=-\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$
3. 提升重物：$W_g=-mg(h_2-h_1)$，外力做功 $+mg(h_2-h_1)$