经典力学/参考系与坐标

参考系规定了我们如何标记空间与时间，从而使粒子的位置、速度与加速度成为可定义的量；坐标系则是在给定参考系内用于描述位置的具体变量集合。在经典力学中，通常将两层概念分开：

参考系的性质（惯性或非惯性）；
在该参考系内选用的坐标（笛卡尔、极坐标、球坐标、广义坐标等）。

惯性系与非惯性系

惯性参考系是指自由粒子做匀速直线运动的参考系： $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ 。相对于某一惯性系以恒定速度运动的任意参考系仍为惯性系（伽利略相对性原理）。相对于惯性系存在加速或转动的参考系是非惯性系。为了在非惯性系中保持牛顿第二定律 $\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 的形式，需要引入“惯性力”（虚拟力）。

当参考系具有角速度 ${\boldsymbol {\Omega }}$ 与平动加速度 $\mathbf {A}$ 时，常见的惯性力包括：

平动惯性力： $\mathbf {F} _{\text{trans}}=-m\,\mathbf {A}$ 。
向心/离心项： $\mathbf {F} _{\text{cf}}=-m\,{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$ 。
科里奥利力： $\mathbf {F} _{\text{cor}}=-2m\,{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v}$ 。
欧拉力（角速度随时间变化）： $\mathbf {F} _{\text{eu}}=-m\,{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\times \mathbf {r}$ 。

伽利略变换

在两个惯性系 $S$ 与 $S'$ 之间，若 $S'$ 相对 $S$ 以恒速 $\mathbf {V}$ 运动，则有

位置： $\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {V} t$ 。
速度： $\mathbf {v} '=\mathbf {v} -\mathbf {V}$ 。
加速度： $\mathbf {a} '=\mathbf {a}$ 。

这些关系在非相对论速度范围内保持牛顿定律形式不变。

二维与三维中的常用坐标

坐标选择取决于问题的对称性与计算便利性。

笛卡尔坐标（3D）： $(x,y,z)$ ，基矢 ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ 恒定，适合直线、平面与各向同性场的局部分析。
平面极坐标（2D）： $(r,\theta )$ ， $\mathbf {r} =r\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$ ，速度 $\mathbf {v} ={\dot {r}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$ ，加速度包含径向与切向项： $\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$ 。适合中心力问题与圆周/螺旋运动。
球坐标（3D）： $(r,\theta ,\phi )$ （物理常用 $\theta$ 为极角， $\phi$ 为方位角）。适合球对称势与辐射型问题。
圆柱坐标（3D）： $(\rho ,\phi ,z)$ ，适合轴对称问题（如圆柱壳、涡旋流动）。

广义坐标与约束的动坐标

在含约束系统中，自由度减少且自然坐标未必最简。广义坐标 $q_{i}$ 可根据几何或对称性选择，使约束被内化，动力学更简洁。位置矢量写作 $\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\dots ,q_{n},t)$ ，速度为 $\mathbf {v} =\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}+\partial \mathbf {r} /\partial t$ 。这为拉格朗日与哈密顿表述奠定基础。

选择坐标的小建议

先看对称性：球对称→球坐标；轴对称→圆柱坐标；中心力→极/球坐标。
再看边界：直线/平面边界偏好笛卡尔；圆环/圆柱边界偏好圆柱。
若存在整体几何约束，优先考虑广义坐标以简化约束处理。