经典力学/多粒子系统质心与相对坐标

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多粒子系统：质心与相对坐标

• 质心：$\mathbf {R} ={\dfrac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$，$M=\sum _{i}m_{i}$；总动量 $\mathbf {P} =M{\dot {\mathbf {R} }}$。

• 质心运动：$M{\ddot {\mathbf {R} }}=\sum \mathbf {F} _{\text{外}}$；若外力为零，${\dot {\mathbf {R} }}$ 为常量。

• 两体相对坐标：$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$，约化质量 $\mu ={\dfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$，相对运动满足 $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$。

• 能量分解：$K={\tfrac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}$；中心力问题可化为一体在有效势 $U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}$ 中运动。

• 多体推广：采用雅可比坐标逐层剥离整体平动，自由度组织更利于碰撞链、聚合/解体与数值积分。

• 应用

1. 完全非弹性：碰后共同速度 $\mathbf {v} _{\text{cm}}={\dfrac {\mathbf {P} }{M}}$。
2. 轨道力学：行星—卫星系统等效为约化质量在中心势 $U(r)$ 下的相对运动。
3. 分子振动：分离平动与转动后，剩余为振动自由度用于光谱分析。

练习

1. 给定$m_{1},m_{2},\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}$，计算$\mathbf {R} ,\mathbf {P} ,\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}$。
2. 写出一组三体雅可比坐标的定义，并说明其在数值积分中的优势（定性）。