经典力学/正则方程与泊松括号

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正则方程与泊松括号

• 哈密顿正则方程：${\dot{q}}_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}$，${\dot{p}}_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j}$。这组一阶方程在相空间上给出时间流。

• 泊松括号定义：对相空间函数 $f(𝐪,𝐩,t)$ 与 $g(𝐪,𝐩,t)$，$\{f,g\}=\sum _j(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial g}{\partial p_j}-\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial g}{\partial q_j})$。

• 时间演化：$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$。特别地，守恒量满足 $\{f,H\}=0$ 且 $\partial f/\partial t=0$。

• 基本对易关系：$\{q_i,q_j\}=0$，$\{p_i,p_j\}=0$，$\{q_i,p_j\}={\delta }_{ij}$，体现辛结构。

• 雅可比恒等式：泊松括号满足 $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$，确保代数的一致性。

练习

1. 对$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2$，用正则方程求$q(t),p(t)$并验证周期运动。
2. 证明$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$，并用此式证明能量守恒条件。