经典力学/正则方程与泊松括号

物理学 > 经典力学 > 正则方程与泊松括号

正则方程与泊松括号

• 哈密顿正则方程：${\dot {q}}_{j}={\dfrac {\partial H}{\partial p_{j}}}$，${\dot {p}}_{j}=-{\dfrac {\partial H}{\partial q_{j}}}$。这组一阶方程在相空间上给出时间流。

• 泊松括号定义：对相空间函数 $f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ 与 $g(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$，$\{f,g\}=\sum _{j}\left({\dfrac {\partial f}{\partial q_{j}}}{\dfrac {\partial g}{\partial p_{j}}}-{\dfrac {\partial f}{\partial p_{j}}}{\dfrac {\partial g}{\partial q_{j}}}\right)$。

• 时间演化：${\dfrac {df}{dt}}=\{f,H\}+{\dfrac {\partial f}{\partial t}}$。特别地，守恒量满足 $\{f,H\}=0$ 且 $\partial f/\partial t=0$。

• 基本对易关系：$\{q_{i},q_{j}\}=0$，$\{p_{i},p_{j}\}=0$，$\{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}$，体现辛结构。

• 雅可比恒等式：泊松括号满足 $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$，确保代数的一致性。

练习

1. 对$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，用正则方程求$q(t),p(t)$并验证周期运动。
2. 证明${\dfrac {df}{dt}}=\{f,H\}+{\dfrac {\partial f}{\partial t}}$，并用此式证明能量守恒条件。