经典力学/简谐振动与相位

物理学 > 经典力学 > 简谐振动与相位

简谐振动与相位

• 方程与解：一维简谐振动满足 $m\ddot{x}+kx=0$，通解 $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$，其中 $\omega =\sqrt{k/m}$。

• 相位与初值：相位 $\varphi$ 由初始条件确定；$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=v_0$ 给出 $A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2}$、$\varphi =\arctan (-v_0/(\omega x_0))$（注意象限）。

• 能量：总能量 $E=\frac{1}{2}k{A}^2$，动能 $K=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$、势能 $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ 在周期内互换但 $E$ 不变。

• 相位图：$(x,\dot{x})$ 相图为椭圆 $(x/A{)}^2+(\dot{x}/\omega A{)}^2=1$，逆时针匀速运动。

• 复数表示：令 $x(t)=\mathrm{\Re }\{\tilde{A}{e}^{i\omega t}\}$，线性叠加更便捷；相位差通过复幅的辐角表示。

练习

1. 已知$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=0$，写出$x(t)$并给出相位$\varphi$。
2. 画出幅值为$A$的相位图椭圆方程，并标注最大速度。