经典力学/轨道方程与圆锥曲线

物理学 > 经典力学 > 轨道方程与圆锥曲线

轨道方程与圆锥曲线

• 比奈方程（牛顿中心力）：令$u=1/r$，在势$U(r)$下径向方程转成${\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\dfrac {m}{L^{2}}}{\dfrac {d}{du}}U\!\left({\dfrac {1}{u}}\right)$。

• 反平方力轨迹：对$U(r)=-{\dfrac {k}{r}}$，解得$r(\theta )={\dfrac {\ell }{1+e\cos \theta }}$，为圆锥曲线；$e$为偏心率，$\ell ={\dfrac {L^{2}}{mk}}$为半通径。

• 轨道分类：$0\leq e<1$为椭圆（束缚），$e=1$为抛物线（临界逃逸），$e>1$为双曲线（非束缚）。

• 几何参数：椭圆半长轴$a$与$E$、$L$关系为$E=-{\dfrac {mk^{2}}{2L^{2}}}(1-e^{2})$或等价表达；半通径与$a,e$满足$\ell =a(1-e^{2})$。

• 近心点与远心点：最小半径$r_{\min }={\dfrac {\ell }{1+e}}$，最大半径$r_{\max }={\dfrac {\ell }{1-e}}$（椭圆情形）。

练习

1. 从比奈方程出发，推导反平方力下的$r(\theta )={\dfrac {\ell }{1+e\cos \theta }}$。
2. 已知$E,L,k,m$，写出偏心率$e$与半通径$\ell$的表达式并判断轨道类型。