经典力学/转动惯量与主轴

刚体转动与欧拉角

◄

经典力学 转动惯量与主轴

►

角动量守恒与对称性

转动惯量的定义

　　转动惯量（Moment of inertia）是刚体转动惯性的量度，类比于质量在平动中的作用。对于绕固定轴转动的刚体，转动惯量定义为：

$I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

　　其中$m_{i}$为第$i$个质元的质量，$r_{i}$为该质元到转轴的垂直距离。对于连续分布的刚体，求和变为积分：

$I=\int r^{2}\,dm=\int \rho (\mathbf {r} )\,r_{\perp }^{2}\,dV$

　　其中$\rho (\mathbf {r} )$为密度分布，$r_{\perp }$为到转轴的垂直距离。
　　转动惯量的大小取决于质量分布和转轴位置。同一刚体绕不同轴转动，转动惯量不同。

惯性张量

　　对于三维空间中的刚体，转动惯量不再是单一标量，而是一个二阶张量——惯性张量（Inertia tensor）$\mathbf {I}$，其矩阵元素为：

$I_{ij}=\int \rho (\mathbf {r} )\left(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j}\right)dV$

　　其中$r_{i},r_{j}$为位置矢量的分量，$\delta _{ij}$为克罗内克符号。惯性张量是实对称矩阵，具体形式为：

$\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\end{pmatrix}}$

　　对角元$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$称为转动惯量，非对角元$I_{xy},I_{xz},I_{yz}$称为惯性积（Products of inertia）。
　　角动量与角速度的关系由惯性张量联系：$\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$。

主轴与主转动惯量

　　由于惯性张量是实对称矩阵，根据线性代数理论，必存在一组正交坐标系（主轴坐标系），使得惯性张量对角化：

$\mathbf {I} _{\text{主}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}$

　　对角元$I_{1},I_{2},I_{3}$称为主转动惯量（Principal moments of inertia），对应的坐标轴称为主轴（Principal axes）。主轴是惯性张量的特征向量，主转动惯量是对应的特征值。
　　在主轴坐标系中，角动量与角速度平行：$\mathbf {L} =I_{i}{\boldsymbol {\omega }}$（无求和），运动方程大大简化。这就是主轴定理（Principal axis theorem）的核心内容。

对称刚体的主轴

　　对于具有对称性的刚体，主轴的确定更为简单：

• 球对称刚体（如均匀球体）：任意过质心的轴都是主轴，$I_{1}=I_{2}=I_{3}$。
• 轴对称刚体（如圆柱、圆盘）：对称轴为一主轴，垂直于对称轴的任意两正交轴为另外两主轴，$I_{1}=I_{2}\neq I_{3}$。
• 平面刚体（如薄板）：垂直于平面的轴为一主轴，平面内两正交轴为另外两主轴。

平行轴定理与垂直轴定理

　　平行轴定理（Parallel axis theorem）：设刚体绕过质心的轴的转动惯量为$I_{\text{cm}}$，则绕与该轴平行、距离为$d$的轴的转动惯量为：

$I=I_{\text{cm}}+Md^{2}$

　　其中$M$为刚体总质量。
　　垂直轴定理（Perpendicular axis theorem）：对于平面刚体，若$x,y$轴在平面内，$z$轴垂直于平面，则：

$I_{z}=I_{x}+I_{y}$

常见刚体的转动惯量

刚体类型	转轴位置	转动惯量
细棒（长度$L$，质量$M$）	过中心，垂直于棒	${\frac {1}{12}}ML^{2}$
细棒	过端点，垂直于棒	${\frac {1}{3}}ML^{2}$
均匀圆盘（半径$R$，质量$M$）	过中心，垂直于盘面	${\frac {1}{2}}MR^{2}$
均匀球体（半径$R$，质量$M$）	过球心	${\frac {2}{5}}MR^{2}$
均匀球壳（半径$R$，质量$M$）	过球心	${\frac {2}{3}}MR^{2}$
均匀圆柱（半径$R$，质量$M$）	沿对称轴	${\frac {1}{2}}MR^{2}$

主轴的物理意义

　　在主轴坐标系中，刚体的转动最为"纯粹"：角动量与角速度同向，不产生进动或章动。若刚体绕非主轴转动，角动量与角速度不平行，会产生复杂的耦合运动。
　　自由转动的刚体，只有绕最大或最小主转动惯量对应的主轴转动是稳定的，绕中间主转动惯量对应的主轴转动是不稳定的（网球拍定理）。

应用实例

• 陀螺仪：利用轴对称刚体的主轴特性，保持角动量方向稳定。
• 卫星姿态控制：通过调整主轴方向和转速，实现卫星定向。
• 分子转动光谱：分子的转动能级与主转动惯量相关，可通过光谱测量确定分子结构。
• 机械设计：平衡转子、减少振动，需使转轴尽量接近主轴。

习题

1. 计算长度为$L$、质量为$M$的均匀细棒，绕过端点且垂直于棒的轴的转动惯量。
2. 证明平行轴定理。
3. 求均匀立方体（边长$a$，质量$M$）绕过中心、平行于某一边的轴的转动惯量。
4. 一刚体的惯性张量为$\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$（单位：${\text{kg·m}}^{2}$），求主转动惯量和主轴方向。