逻辑通路/垂心公式

垂心座标 假设 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{CA},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AB}$ 则 $H=\frac{\alpha A+\beta B+\gamma C}{\alpha +\beta +\gamma }$ 其中 $\begin{array}{c}\alpha =(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\\ \beta =(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})\\ \gamma =(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b})\end{array}$

你必须先知道：逻辑通路/向量内积、分点公式、三角形投影公式

我们知道 △ABC 的重心座标计算公式是：

$\frac{A+B+C}{3}$

内心座标计算公式是：

$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$

那么如果我们知道 A、B、C 的座标的话，垂心座标又该如何计算呢？从右图中，我们可以看出来：F 是 A、B 的分点，H 是 F、C 的分点，所以我们打算利用“分点公式”来计算 H 的座标。

假设

$a=\overline{BC},b=\overline{CA},c=\overline{AB}$

首先我们先计算 $\overline{AF}$ 与 $\overline{FB}$ 的量:

因为

$\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\cos A$

所以

$\overline{AF}=\overline{AC}\cos A=b\cos A$

同理，因为

$\frac{\overline{FB}}{\overline{CB}}=\cos B$

所以

$\overline{FB}=\overline{CB}\cos B=a\cos B$

注释：