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有理数与运算

定义与分类

有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如$\frac{p}{q}$的数，其中$p,q\in \mathbb{Z}$且$q\ne 0$。所有整数都是有理数（例如$5=\frac{5}{1}$）。

1. 有理数集合记为$\mathbb{Q}$
2. 若分数$\frac{p}{q}$满足$gcd(p,q)=1$且$q>0$，则称为最简分数
3. 正有理数、零、负有理数共同构成$\mathbb{Q}$

• 示例：$\frac{-7}{5}$、$0$、$\frac{12}{3}=4$均为有理数
• 非有理数示意（对比）：$\sqrt{2}$、$\pi$为无理数

基本性质

1. 加、减、乘、除（除零除外）在有理数集合中封闭
2. 交换律：$a+b=b+a,a\times b=b\times a$
3. 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c),(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
4. 分配律：$a(b+c)=ab+ac$
5. 加法逆元与乘法逆元：对任意$a\in \mathbb{Q}$，存在$-a$与（若$a\ne 0$）$\frac{1}{a}$

• 说明：封闭性保证任何两有理数运算后仍为有理数

有理数的表示

1. 分数表示：$\frac{p}{q}$（最简化，分母约定为正）
2. 带分数表示：$k\frac{p}{q}$，其中$k\in \mathbb{Z}$且$0<p<q$
3. 小数表示：有限小数或循环小数

• 示例：$\frac{1}{4}=0.25$，$\frac{1}{3}=0.\bar{3}$

运算规则

1. 同分母分数加减：$\frac{a}{m}\pm \frac{b}{m}=\frac{a\pm b}{m}$
2. 异分母分数加减（通分）：$\frac{a}{m}\pm \frac{b}{n}=\frac{an\pm bm}{mn}$
3. 乘法：$\frac{a}{m}\times \frac{b}{n}=\frac{ab}{mn}$
4. 除法（乘以倒数）：$\frac{a}{m}÷\frac{b}{n}=\frac{a}{m}\times \frac{n}{b}=\frac{an}{mb}(b\ne 0)$

• 通分技巧：优先选择$\mathrm{lcm}(m,n)$作为公分母以简化计算
• 约分：若$d=gcd(a,m)$，则$\frac{a}{m}=\frac{a/d}{m/d}$

有理数与大小比较

1. 若$m,n>0$，则$\frac{a}{m}<\frac{b}{n}⟺an<bm$
2. 有限小数与循环小数可转换为分数后比较
3. 数轴表示：零在原点，正数在右侧，负数在左侧

• 示例：比较$\frac{2}{5}$与$\frac{3}{8}$，因$2\times 8=16<3\times 5=15$不成立，故$\frac{2}{5}>\frac{3}{8}$

循环小数转分数

1. 设$x=0.\overline{a_1{a}_2\cdots a_k}$为长度$k$的循环小数
2. 则$10^{k}x-x$消去循环部分，得到$(10^k-1)x$为整数
3. 所以$x=\frac{\text{循环节对应的整数}}{10^k-1}$

• 例：$0.\bar{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$

有理数的闭包与域结构（进阶）

有理数在加、减、乘、除（零除除外）下构成一个域：

1. 存在加法单位元$0$与乘法单位元$1$
2. 每个元素存在加法逆元与（非零元素）乘法逆元
3. 满足交换律、结合律与分配律

• 注：域结构为后续代数的基础概念

应用举例（概念性）

1. 比例与速率：如速度$v=\frac{s}{t}$
2. 金融折算：利率与折扣常以分数或百分数表达
3. 测量与误差：以分数或小数统一尺度