偏微分

近似值

例题

一

求 z=2x^2+y^2 在 (1,1,3) 的切平面。

二

说明可微分和近似。

三

说明 Δz 和 dz 的差异。

四

半径 r 高度 h 的圆锥有 0.1 的误差，求最大误差。

五

40 x 60 x 75 的长方体测量时有 0.2 的误差，求最大误差。

连锁律

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连锁律

例题

一

z=x²y+3x⁴、x=sin2t、y=cost

梯度

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方向导数

例题

一

求 x²+y²-2x-6x+14 的方向微分。

二

sinx+e^xy

三

x²y³-4y

四

xsinyz，求方向微分和梯度。

五

xe^y

六

${\frac {80}{1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}}$

七

求 ${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}+{\frac {z^{2}}{9}}=3$ 在 (-2,1,-3) 的切平面和法向量。

极值

例题

一

求 x²+y²-2x-6x+14 的极值。

二

求 -x²+y² 的极值。

三

求 x⁴+y⁴-4xy+1 的极值和鞍点。

四

求 (1,0,-2) 到 x+2y+z=4 的最短距离。

五

xy+2yz+2zx=12，求 V=xyz 最大值。

六

求 x²-2xy+2y 在 {(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2} 的极值。

乘数法

例题

一

xy+2yz+2zx=12，求 V=xyz 最大值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

二

求 x²+y²=1 上 x²+2y² 的极值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

三

求 x²+y²=1 上 x²+2y² 的极值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

四

求 x²+y²+z²=4 上距 (3,1,-1) 最近和最远的点。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

五

求 x-y+z=1 和 x²+y²=1 上 x+2y+3z 的最大值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$