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解一元二次方程式

数位媒体融入教学(试教篇)

在本学期的“数学教材教法”课程中，我选择国中课程的“解一元二次方程式”单元来试教。所以在本课程－－数位学习，我就思考是否可以利用数位媒体来辅助教学。

这学期我选择探讨WikiBooks，所以决定利用它来呈现这个单元。以下是我的编辑。

指导语

解一元二次方程式并不难，诀窍是观察方程式的模样，或是利用方程式的性质及概念来解出。

一元二次方程式

一元二次方程式是带有一个未知数－－通常用 x 来表示－－且最大次方为 2 的方程式，我们可以用 ax²+bx+c=0 来表示，其中a、b、c为实数。

完全平方式

若某一元二次方程式是完全平方式，则它可以化成一元一次方程式的完全平方。

也就是 a(x+b)²。

如何展开一元一次方程式的完全平方？

(x+b)²=(x+b)(x+b)=x²+2bx+b²

解一元二次方程式方法(一)

若方程式是 x²+2bx+b²=0 的形式，或是此形式的实数倍，都可以利用完全平方式的概念来求解。

其解为-b，因为 (x+b)²=0 的解，就是要让 x+b=0 使 (x+b)²=(0)²=0。

• 例题(1): 2x²+8x+8=0

详解:

我们先提出首项系数 2 ，使方程式变成：

2(x²+4x+4)=0

我们可以发现()内的多项式是 x+2 的完全平方式，所以：

2(x²+4x+4)=0

→ 2(x+2)²=0

→ (x+2)²=0 (即 = 左右边同除以 2)

→ x=-2

• 讨论区:

配方法

我们已知 (x+b)² 可以展开成 x²+2bx+b² ，可以发现常数项为 x 一次项系数的一半再平方。

所以我们得知，欲构成完全平方式必须补上 x 项系数的一半再平方。

若给题为完全平方式，可以直接找 x 的解，但是若题目为非完全平方式，则须利用完全平方的概念来解题。

其方法有二：配方法与公式解。

解一元二次方程式方法(二): 配方法

我们简单将配方法分解为四个步骤：

• 步骤一：常数项移到等号右边。
• 步骤二：方程式同除以首项系数。
• 步骤三：补项使其成为完全平方式。
• 步骤四：解 x 。

• 例题(2): $2x^{2}-4x+1=0$

详解：

步骤一：$2x^{2}-4x=-1$

步骤二：$x^{2}-2x=-{\frac {1}{2}}$

步骤三：$x^{2}-2x+1=-{\frac {1}{2}}+1={\frac {1}{2}}$

步骤四：$(x-1)^{2}={\frac {1}{2}}$ → $x-1=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ → $x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

• 讨论区:

问题:是否一定要照著这四个步骤解题呢?

答：当然不一定要照著这四步走，可以根据原理，发展自己的解题步骤。

公式解

在数字简单的方程式下，用配方法可以快速的解出 x 的值，但是在数字复杂的方程式下，由于步骤繁多而错误率提高。

所以有另一种方法，可以更快的求出 x 的值，我们称之为公式解。

解一元二次方程式方法(三)：公式解

公式解的原理是利用配方法解方程式 ax²+bx+c=0 ，其中 a 不为 0 。

其推导的过程如下：

1.$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

2.$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

3.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

4.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$

5.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

6.$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\Rightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

7.$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

这个复杂的式子$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$就称作公式解。

只要知道 a、b、c ，我们就可以求出 x 的解。

• 例题(3): $2x^{2}-4x+1=0$

详解：

a=2

b=-4

c=1

套用公式解得知：

$x={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 1}}}{2\cdot 2}}$

$x={\frac {4\pm {\sqrt {16-8}}}{4}}$

$x={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{4}}$

$x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

• 讨论区:

判别式

经由观察我们可以发现，在公式解的式子中，$b^{2}-4ac$扮演了很重要的角色。因为它决定了 x 解的个数。

若$b^{2}-4ac$为正数，则 x 恰有两解。

若$b^{2}-4ac$为 0 ，则 x 恰有一解。

若$b^{2}-4ac$为负数，则 x 无解。

所以，我们提出了判别式的概念。

判别式

因为$b^{2}-4ac$非常重要，于是我们为它取名为判别式。旨在判别 x 的解的个数。

如果将其延伸到几何意义上，可以表示为一元二次函数的图形与 x 轴的交点个数，这我们将在未来的课程中深入探讨。

在方程式的意义上，我们只考虑如同上面的叙述：

• 当$b^{2}-4ac$为正数，则 x 有两相异实根。

• 当$b^{2}-4ac$为 0 ，则 x 恰有一实根。

• 当$b^{2}-4ac$为负数，则 x 无实数解。

注：何谓无实数解？就是在实数中，找不到此方程式的解。但是在虚数中，我们可以找到，这也是未来的课程将会提及的领域。

• 讨论区: