三角形的內心、外心、重心及垂心稱為三角形的四心,定義如下:
名稱 |
定義 |
圖示 |
備註
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內心 |
三個內角的角平分線的交點 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E5%BF%83.png/250px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E5%BF%83.png) |
該點為三角形內切圓的圓心。
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外心 |
三條邊的垂直平分線的交點 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%A4%96%E5%BF%83.png/250px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%A4%96%E5%BF%83.png) |
該點為三角形外接圓的圓心。
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重心 |
三條中線的交點 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%87%8D%E5%BF%83.png/250px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%87%8D%E5%BF%83.png) |
被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)。
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垂心 |
三條高線的交點 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%9E%82%E5%BF%83.png) |
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垂心(藍)、重心(黃)和外心(綠)能連成一線,且成比例2:1,稱為尤拉線。
連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:
名稱 |
定義 |
圖示 |
備註
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旁心 |
其中一內角和另外兩外角的角平分線的交點 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%82%8D%E5%BF%83.png/250px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%82%8D%E5%BF%83.png) |
有三個,為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。
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正弦(sine)、餘弦(Cosine)定義
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∠A之度數為α:
sinα=對邊長/斜邊長
cosα=鄰邊長/斜邊長
直角三角形中∠A之度數為α,定義:
- sinα=對邊長/斜邊長
- cosα=鄰邊長/斜邊長
基本性質:
- sinα=cos(90°-α)
- 令∠B度數為β,β=90°-α,則sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
- cosα=sin(90°-α)
- 令∠B度數為β,β=90°-α,則cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
- sin2α+cos2α=1
- 三角函數的平方寫在角度前,不寫在角度後,以和「α2取sin」區分。
![{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d0b7b8887fd65451793a93b10078ffa743b4e6)
若
為外接圓半徑,則
。
![{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92eb21dd5d158f37326aac62b7c2e43e2cf34279)
![{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2a331f4867b543fd80819c3db6feba71901c11)
![{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4c96df3968600343c393bdc107e3aa294d9a2a)
三角形面積為二分之一兩邊乘以夾角正弦。
△=
△=
△=
,r為內切圓半徑
△面積
R為外接圓半徑
△=
證明
△= ½×a×ha= ½×b×hb= ½×c×hc
△=
如 (x1,y1) 為 (0,0) 即原點,則
△=
再旋轉使 (x3,y3) 位於 X 軸,為 (x3,0)。此時 x3 為底, y2 為高:
△=
從一角出發,其兩邊的向量為
及
△=