環同態與同構基本定理

1. 環同態的定義與基本性質

1.1 環同態

設 $R$ 與 $S$ 是兩個環。映射 $\phi :R\to S$ 稱為環同態，如果它保持環的運算：

$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ 對所有 $a,b\in R$
$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ 對所有 $a,b\in R$
$\phi (1_{R})=1_{S}$ （若兩環均為么環）

核定義為：

$\ker \phi =\{r\in R\mid \phi (r)=0_{S}\}$

像定義為：

${\text{im }}\phi =\{\phi (r)\mid r\in R\}=\phi (R)$

1.2 核與像的性質

定理 1.1： 設 $\phi :R\to S$ 是環同態，則：

$\ker \phi$ 是 $R$ 的雙邊理想
${\text{im }}\phi$ 是 $S$ 的子環
$\phi$ 是單射當且僅當 $\ker \phi =\{0\}$

表1：常見環同態示例

同態	定義	核	像
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	自然投影 $a\mapsto {\bar {a}}$	$n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$	乘法 $a\mapsto na$	$\{0\}$	$n\mathbb {Z}$
$R[x]\to R$	求值 $f(x)\mapsto f(a)$	$(x-a)$	$R$
$\mathbb {C} \to \mathbb {C}$	共軛 $z\mapsto {\bar {z}}$	$\{0\}$	$\mathbb {C}$
$k[x,y]\to k[t]$	$x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{3}$	$(y^{2}-x^{3})$	$k[t^{2},t^{3}]$

表2：環同態的類型

類型	定義	等價條件
單同態（單射）	$\phi (a)=\phi (b)\Rightarrow a=b$	$\ker \phi =\{0\}$
滿同態（滿射）	${\text{im }}\phi =S$	對所有 $s\in S$ 存在 $r\in R$ 使 $\phi (r)=s$
同構	雙射的同態	存在逆同態 $\phi ^{-1}$
自同態	$R\to R$	環到自身的同態
自同構	$R\to R$ 的同構	可逆的自同態

1.3 同態的複合

命題 1.2： 設 $\phi :R\to S$ 和 $\psi :S\to T$ 是環同態，則：

$\psi \circ \phi :R\to T$ 是環同態
$\ker(\psi \circ \phi )=\phi ^{-1}(\ker \psi )$
若 $\phi ,\psi$ 都是同構，則 $\psi \circ \phi$ 也是同構

表3：同態複合的性質

性質	$\phi$	$\psi$	$\psi \circ \phi$
單射性	單射	單射	單射
滿射性	滿射	滿射	滿射
核的關係	$\ker \phi$	$\ker \psi$	$\ker(\psi \circ \phi )\supseteq \ker \phi$
像的關係	${\text{im }}\phi$	${\text{im }}\psi$	${\text{im }}(\psi \circ \phi )=\psi ({\text{im }}\phi )$

2. 同態基本定理

2.1 第一同構定理

定理 2.1（第一同構定理）： 設 $\phi :R\to S$ 是環同態，則存在唯一的環同構

${\bar {\phi }}:R/\ker \phi \to {\text{im }}\phi$

使得下圖交換：

$R\xrightarrow {\phi } {\text{im }}\phi$

$\downarrow \pi \qquad \nearrow {\bar {\phi }}$

$R/\ker \phi$

其中 $\pi :R\to R/\ker \phi$ 是自然投影。

證明要點：

定義 ${\bar {\phi }}(r+\ker \phi )=\phi (r)$
良定義性：若 $r_{1}-r_{2}\in \ker \phi$ ，則 $\phi (r_{1}-r_{2})=0$ ，故 $\phi (r_{1})=\phi (r_{2})$
${\bar {\phi }}$ 保持加法與乘法
${\bar {\phi }}$ 是單射： ${\bar {\phi }}(r+\ker \phi )=0\Rightarrow \phi (r)=0\Rightarrow r\in \ker \phi$
${\bar {\phi }}$ 是滿射：對任意 $s\in {\text{im }}\phi$ ，存在 $r\in R$ 使 $\phi (r)=s$

表4：第一同構定理應用實例

同態 $\phi$	$\ker \phi$	${\text{im }}\phi$	同構結論
$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
$R[x]\to R,f\mapsto f(a)$	$(x-a)$	$R$	$R[x]/(x-a)\cong R$
$\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [t],x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{3}$	$(y^{2}-x^{3})$	$\mathbb {C} [t^{2},t^{3}]$	$\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{3})\cong \mathbb {C} [t^{2},t^{3}]$
$M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,A\mapsto {\text{tr}}(A)$	$\{A:{\text{tr}}(A)=0\}$	$\mathbb {R}$	$M_{n}(\mathbb {R} )/\ker \cong \mathbb {R}$

2.2 第二同構定理

定理 2.2（第二同構定理）： 設 $S$ 是環 $R$ 的子環， $I$ 是 $R$ 的理想，則：

$S+I=\{s+a\mid s\in S,a\in I\}$ 是 $R$ 的子環
$S\cap I$ 是 $S$ 的理想
存在同構 $(S+I)/I\cong S/(S\cap I)$

證明思路： 考慮自然同態 $\phi :S\to (S+I)/I$ ，其核為 $S\cap I$ ，像為 $(S+I)/I$ 。

表5：第二同構定理應用實例

環 $R$	子環 $S$	理想 $I$	結論
$\mathbb {Z}$	$2\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z}$	$(2\mathbb {Z} +6\mathbb {Z} )/6\mathbb {Z} \cong 2\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$
$k[x,y]$	$k[x]$	$(y)$	$(k[x]+(y))/(y)\cong k[x]$
$M_{n}(R)$	對角矩陣	上三角冪零矩陣	商同構於對角矩陣環
$\mathbb {Z} [i]$	$\mathbb {Z}$	$(1+i)$	$(\mathbb {Z} +(1+i))/(1+i)\cong \mathbb {Z} /\mathbb {Z} \cap (1+i)$

2.3 第三同構定理

定理 2.3（第三同構定理）： 設 $I\subseteq J$ 是環 $R$ 的兩個理想，則：

$J/I$ 是 $R/I$ 的理想
存在同構 $(R/I)/(J/I)\cong R/J$

證明： 考慮複合同態 $R\to R/I\to (R/I)/(J/I)$ ，其核恰為 $J$ 。

表6：理想鏈與商環塔

理想鏈	商環序列	同構關係
$\{0\}\subseteq I\subseteq J\subseteq R$	$R\to R/I\to R/J$	$R/J\cong (R/I)/(J/I)$
$\{0\}\subseteq (2)\subseteq (6)\subseteq \mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )/(3\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$\{0\}\subseteq (x)\subseteq (x,y)\subseteq k[x,y]$	$k[x,y]\to k[x,y]/(x)\to k[x,y]/(x,y)$	$k[x,y]/(x,y)\cong (k[x,y]/(x))/((x,y)/(x))$
$\{0\}\subseteq (p)\subseteq (p^{2})\subseteq \mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )/(p\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )$

3. 對應定理

3.1 理想的對應

定理 3.1（對應定理）： 設 $I$ 是環 $R$ 的理想， $\pi :R\to R/I$ 是自然投影。則存在保序雙射：

$\{{\text{包含 }}I{\text{ 的 }}R{\text{ 的理想}}\}\leftrightarrow \{R/I{\text{ 的理想}}\}$

對應關係為：

正向： $J\mapsto J/I=\pi (J)$

逆向： ${\bar {J}}\mapsto \pi ^{-1}({\bar {J}})$

且該對應保持：

包含關係
和、交、積運算
素理想、極大理想性質

表7：對應定理的性質保持

性質	$R$ 中	$R/I$ 中	保持性
包含	$J_{1}\subseteq J_{2}$	$J_{1}/I\subseteq J_{2}/I$	✓
和	$J_{1}+J_{2}$	$(J_{1}+J_{2})/I=J_{1}/I+J_{2}/I$	✓
交	$J_{1}\cap J_{2}$	$(J_{1}\cap J_{2})/I=J_{1}/I\cap J_{2}/I$	✓
積	$J_{1}J_{2}$	$(J_{1}J_{2})/I=(J_{1}/I)(J_{2}/I)$	✓
素理想	$J$ 是素理想且 $J\supseteq I$	$J/I$ 是素理想	✓
極大理想	$J$ 是極大理想且 $J\supseteq I$	$J/I$ 是極大理想	✓
根式	${\sqrt {J}}$	${\sqrt {J/I}}={\sqrt {J}}/I$	✓
主理想	$(a)$ 且 $a\in I$	$({\bar {a}})$	✓（當 $a\notin I$ ）

3.2 素理想與極大理想的對應

推論 3.2： 設 $I$ 是環 $R$ 的理想，則：

$R/I$ 的素理想恰好是形如 ${\mathfrak {p}}/I$ 的理想，其中 ${\mathfrak {p}}$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的素理想
$R/I$ 的極大理想恰好是形如 ${\mathfrak {m}}/I$ 的理想，其中 ${\mathfrak {m}}$ 是 $R$ 的包含 $I$ 的極大理想
$R/I$ 是整環當且僅當 $I$ 是素理想
$R/I$ 是域當且僅當 $I$ 是極大理想

表8：具體環的理想對應實例

環 $R$	理想 $I$	$R/I$ 的全部理想	對應的 $R$ 中理想
$\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z}$	${\bar {0}},{\bar {2}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,{\bar {3}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$	$6\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} ,3\mathbb {Z} ,\mathbb {Z}$
$k[x]$	$(x^{2})$	${\bar {0}},({\bar {x}}),k[x]/(x^{2})$	$(x^{2}),(x),k[x]$
$k[x,y]$	$(y)$	$k[x,y]/(y)$ 的理想 $\cong k[x]$ 的理想	包含 $(y)$ 的理想
$\mathbb {Z} [i]$	$(2)$	${\bar {0}},(1+i)/(2),\mathbb {Z} [i]/(2)$	$(2),(1+i),\mathbb {Z} [i]$

4. 中國剩餘定理

4.1 兩個理想的情形

定理 4.1（中國剩餘定理）： 設 $I,J$ 是環 $R$ 的理想且 $I+J=R$ （互素），則自然同態

$\phi :R\to R/I\times R/J,\quad r\mapsto (r+I,r+J)$

誘導同構：

$R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J$

證明要點：

$\ker \phi =I\cap J$
由 $I+J=R$ ，存在 $a\in I,b\in J$ 使 $a+b=1$
對任意 $(x+I,y+J)\in R/I\times R/J$ ，取 $r=yb+xa$
驗證 $\phi (r)=(x+I,y+J)$ ，故 $\phi$ 滿射

表9：中國剩餘定理應用實例

環 $R$	理想 $I$	理想 $J$	互素條件	同構結論
$\mathbb {Z}$	$(m)$	$(n)$	$\gcd(m,n)=1$	$\mathbb {Z} /(mn)\cong \mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$
$k[x]$	$(f)$	$(g)$	$\gcd(f,g)=1$	$k[x]/(fg)\cong k[x]/(f)\times k[x]/(g)$
$\mathbb {Z}$	$(6)$	$(35)$	$\gcd(6,35)=1$	$\mathbb {Z} /(210)\cong \mathbb {Z} /(6)\times \mathbb {Z} /(35)$
$k[x,y]$	$(x)$	$(y)$	$(x)+(y)=k[x,y]$	$k[x,y]/(xy)\cong k[y]\times k[x]$

4.2 多個理想的情形

定理 4.2（推廣的中國剩餘定理）： 設 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 是環 $R$ 的理想，且兩兩互素（即 $I_{i}+I_{j}=R$ 當 $i\neq j$ ），則自然同態

$\phi :R\to R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{n},\quad r\mapsto (r+I_{1},\ldots ,r+I_{n})$

誘導同構：

$R/(I_{1}\cap \cdots \cap I_{n})\cong R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{n}$

且當 $I_{i}$ 兩兩互素時， $I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}=I_{1}\cdots I_{n}$ 。

表10：多理想中國剩餘定理實例

環	理想組	互素條件	同構結論
$\mathbb {Z}$	$(2),(3),(5)$	兩兩互素	$\mathbb {Z} /(30)\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)$
$k[x]$	$(x),(x-1),(x-2)$	兩兩互素	$k[x]/(x(x-1)(x-2))\cong k\times k\times k$
$\mathbb {Z}$	$(4),(9),(25)$	兩兩互素	$\mathbb {Z} /(900)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)$
$k[x]$	$((x-a_{i})^{n_{i}})$ , $a_{i}$ 互異	兩兩互素	$k[x]/(\prod (x-a_{i})^{n_{i}})\cong \prod k[x]/((x-a_{i})^{n_{i}})$

5. 應用與例子

5.1 環的分類

利用同構定理，我們可以判斷兩個環是否同構。

例 5.1： 證明 $\mathbb {Z} [i]/(1+i)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 。

證明： 考慮同態 $\phi :\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 定義為 $\phi (a+bi)=a+b{\pmod {2}}$ 。

$\phi$ 是滿同態
$\ker \phi =\{a+bi:a+b\equiv 0{\pmod {2}}\}=(1+i)$
由第一同構定理， $\mathbb {Z} [i]/(1+i)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

表11：常見商環同構

商環	同構於	證明方法
$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$	$\mathbb {C}$	求值同態 $x\mapsto i$
$\mathbb {Z} [i]/(1+i)$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	範數同態
$k[x,y]/(y-x^{2})$	$k[t]$	參數化 $x\mapsto t,y\mapsto t^{2}$
$\mathbb {C} [x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$	$\mathbb {C} [t,t^{-1}]$	參數化 $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
$\mathbb {Z} [x]/(2,x)$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	複合商

5.2 素譜的計算

利用對應定理，我們可以計算商環的素譜。

例 5.2： 計算 ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} )$ 。

解：由對應定理， $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ 的素理想對應於 $\mathbb {Z}$ 中包含 $6\mathbb {Z}$ 的素理想。

$\mathbb {Z}$ 中包含 $6\mathbb {Z}$ 的素理想為 $(2),(3)$
故 ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} )=\{(2)/(6),(3)/(6)\}=\{{\bar {2}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,{\bar {3}}\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \}$

表12：常見商環的素譜

商環	素譜	極大譜
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$\{(p)/(n):p\mid n,p{\text{ 素数}}\}$	同素譜
$k[x]/(f)$ , $f$ 無平方因子	$\{(p_{i})/(f):f=\prod p_{i}\}$	同素譜
$k[x,y]/(xy)$	$\{(x)/(xy),(y)/(xy)\}$	同素譜
$k[x]/(x^{2})$	$\{(x)/(x^{2})\}$	同素譜