代數的實際應用

行程問題

行程問題的核心是路程（$s$）、速度（$v$）與時間（$t$）三者的關係。

基本公式為： $s=vt$

由它可推導出： $v={\frac {s}{t}},\quad t={\frac {s}{v}}$

在實際問題中，根據運動物體之間的關係，主要分為以下幾類：

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1. 相遇問題

當兩個物體相向而行時，其速度和為 $v=v_{1}+v_{2}$。

從初始距離 $s$ 出發到相遇，所需時間為： $t={\frac {s}{v_{1}+v_{2}}}={\frac {s}{v}}$

（其中 $v_{1}$、$v_{2}$ 分別為兩物體的速度）

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2. 追及問題

當兩個物體同向而行，且後者速度較快時，其速度差為 $v=v_{1}-v_{2}\quad (v_{1}>v_{2})$。

從初始距離 $s$ 出發到追及，所需時間為： $t={\frac {s}{v_{1}-v_{2}}}={\frac {s}{v}}$

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3. 流水行船問題

船在流動的水中航行，其實際速度受船在靜水中的速度（$v_{\text{船}}$）和水流速度（$v_{\text{水}}$）共同影響。

• 順流時，實際速度為兩者之和：$v=v_{\text{船}}+v_{\text{水}}$
• 逆流時，實際速度為兩者之差：$v=v_{\text{船}}-v_{\text{水}}$

因此，完成一段固定航程 $s$ 所需時間為： $t={\frac {s}{v_{\text{船}}\pm v_{\text{水}}}}$

（式中「±」號取法：順流用「+」，逆流用「-」。通常認為逆流時 $v_{\text{船}}>v_{\text{水}}$，以保證船能前進。）

工程問題

核心概念：在工程問題中，常把整個工程看作單位1，即工作總量為1。

工作效率：單位時間內完成的工作量，常用幾分之幾或百分比表示。

核心公式：

$t={\frac {W}{P}}$

或者

$P={\frac {W}{t}}$

（t表示工作時間，P表示工作效率，W表示工作總量）

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1. 單人工作

工作效率$P={\frac {1}{t}}$

工作時間$t={\frac {1}{P}}$

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2. 多人工作

幾個人一起做，效率相加。

核心公式：

$t={\frac {1}{P_{1}+P_{2}}}$

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工程問題通常和經濟問題一起出現，換下一章節：經濟問題

溶液問題

溶液問題通常涉及多種溶液混合，蒸發流失或者是濃度原理

1.基本公式

雜項

1. 最優決策問題

一、最優決策問題概述

最優決策問題旨在從若干可行方案中選擇目標函數最大或最小的那個。

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二、常見類型

最優決策問題常分為靜態決策和動態決策。

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（1）靜態決策

常採用對比法進行決策，對比多種方式達到的目標值並取最值。

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（2）動態決策

每個階段做選擇，影響下一階段狀態。常用 動態規劃（DP）。

DP 核心思想：

· 最優子結構：問題的最優解包含子問題的最優解。 · 重疊子問題。 · 定義狀態和狀態轉移方程。