代數/本書課文/求和/多項式公比求和

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多項式公比求和多項式乘上等比數列的求和,即

公比q等於1時就只是多項式求和

特殊情況[編輯]

時,是等比數列求和:

當多項式等差數列時,即一次多項式時,是差比數列求和:

求和方法[編輯]

錯位相減法[編輯]

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,乘上公比得到

每一次錯位相減會對多項式進行一次差分,一個m階多項式進行差分後是m-1階多項式,所以可以在有限步內用錯位相減法求出多項式公比求和。[1]

逐項求導[編輯]

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兩邊對q求導:

由此可以遞推出m階多項式的多項式公比求和。[2]

裂項法[編輯]

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對數列做裂項:

其中若是m階多項式,則是m階多項式,用待定係數法求出來。[3]

差分算子公式[編輯]

[4]

其中
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無窮級數[編輯]

級數時是收斂的。

多重對數函數[編輯]

主頁面:多重對數函數

所以這個級數可以表達成多重對數函數:

等比級數[編輯]

主頁面:等比級數

兩邊逐項求導,得到:

求m次導,得到:

參考資料[編輯]

  1. 江鳳蓮. 利用「錯位相減法」解數列問題. 龍巖師專學報. 2001, (S1). 
  2. 李曰瑋 劉瑞樓. 一類特殊多項式的求和問題. 高等數學研究. 2012, (1). 
  3. 鄭良. 差比型數列前n項和的求解方法——裂項法. 中學生數學. 2012, (3). 
  4. 黃嘉威. 方冪和及其推廣和式. 數學學習與研究. 2016, (7).