初中數學（香港課程）/角的定理/1

幾何中，不同物體的關係稱為定理。於證明中使用定理須寫上原因

直線上的鄰角

兩隻角有共同的邊和頂點稱為鄰角（英：adjacent angles）

因為平角（180°）即是兩邊為同一條直線組成的角度，於同一條直線上組成的所有鄰角總和為180°。 （簡稱：直線上的鄰$\mathrm{\angle }$）

示範例子1 給定$\mathrm{\angle }AOB=135^{\circ }$、$\mathrm{\angle }BOC=x$、$\mathrm{\angle }COD=60^{\circ }$和$\mathrm{\angle }DOE=y$，且AOC和BOE為直線。求x和y 解 $\begin{array}{cc}135^{\circ }+x& =180^{\circ }\\ x& =45^{\circ }\end{array}$（直線上的鄰$\mathrm{\angle }$） $\begin{array}{cc}45^{\circ }+60^{\circ }+y& =180^{\circ }\\ y& =75^{\circ }\end{array}$（直線上的鄰$\mathrm{\angle }$）

同類習題1 {{{3}}}

對頂角

兩隻有共同頂點又沒有共同邊的角稱作對頂角（英：vertically opposite angles）

兩條相交的直線中，有一對銳角的對頂角（a、b）和一對鈍角的對頂角（c、d）。

$\begin{array}{cc}a+c& =180^{\circ }\\ c& =180^{\circ }-a\end{array}$（直線上的鄰$\mathrm{\angle }$）

$\begin{array}{cc}b+c& =180^{\circ }\\ b+180^{\circ }-a& =180^{\circ }\\ b& =c\end{array}$（直線上的鄰$\mathrm{\angle }$）

因此，兩對對頂角相等（簡寫：對頂$\mathrm{\angle }$）

示範例子2 給定PQ和RS相交於O，$\mathrm{\angle }QOS=72^{\circ }$、$\mathrm{\angle }POT=54^{\circ }$和$\mathrm{\angle }ROT=a$，求a。 解 $\begin{array}{cc}54^{\circ }+a& =72^{\circ }\\ a& =18^{\circ }\end{array}$（對頂角）

同類習題2 {{{3}}}

同頂角

有共同頂點的角稱為同頂角

兩條邊重疊，如旋轉一圈一樣，成一周角（360°）。同頂角皆是有兩邊重疊的大角之中的一部分。頂點中所有同頂角的總和是360°。

（簡稱：同頂$\mathrm{\angle }$）

示範例子3 $\mathrm{\angle }WVX=b$、$\mathrm{\angle }XVY=90^{\circ }$、$\mathrm{\angle }YVZ=2b$和$\mathrm{\angle }ZVW=15^{\circ }$，求b。 解 $\begin{array}{cc}b+90^{\circ }+2b+15^{\circ }& =360^{\circ }\\ 3b& =255^{\circ }\\ b& =85^{\circ }\end{array}$（同頂$\mathrm{\angle }$）

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 給定一對線$PQ//ST$，$\mathrm{\angle }PQR=54^{\circ }$和$\mathrm{\angle }RST=150^{\circ }$，求$\mathrm{\angle }QRS$。 解 作一線RU，使$PQ//RS$ $\mathrm{\angle }QRU=54^{\circ }$（內錯$\mathrm{\angle }$，$PQ//RU$） $\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }SRU+150^{\circ }& =180^{\circ }\\ \mathrm{\angle }SRU& =30^{\circ }\end{array}$（同旁內$\mathrm{\angle }$，$RU//ST$） $\mathrm{\angle }QRS=30^{\circ }+54^{\circ }=84^{\circ }$

同類習題4 {{{3}}}