國中數學/國中數學七年級/6-2 正比與反比

6-1 比例式

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國中數學七年級 6-2 正比與反比

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7-1 一元一次不等式

本單元要介紹兩種常見於未知數$x$與$y$之間的關係：正比與反比。

正比

在國小曾經學過正比的觀念，在這邊做複習。

例題$1$ 小瑜開車的速率為每小時$40$公里。 設$x$小時之後，小瑜可以開$y$公里，列出$x$與$y$的關係式。 利用你列的關係式，完成下列表格。 $x$(小時) 1 2 3 4 $y$(公里) 40

解 因為距離$=$速率$\times$時間，所以$x$與$y$的關係式為$y=40x$。 將$y=40x$的$x$分別以$2$、$3$、$4$代入，可以分別得到$y=80$、$y=120$、$y=160$，故列表如下： $x$(小時) 1 2 3 4 $y$(公里) 40 80 120 160

• 在例題$1$中，我們發現：只要$x$值變為原本的$t$倍$(t\neq 0)$，$y$值也變為原本的$t$倍，則我們稱$y$與$x$的關係成正比。
• 若$y$與$x$的關係成正比的時候，$y:x$的比值會固定下來，即我們可以找到一個常數$k\neq 0$，使得${\color {Red}{\frac {y}{x}}=k}$恆成立，整理之後可得${\color {Red}y=kx}$。

接下來我們來練習判斷成正比的關係。

例題$2$ 已知駱澄今年$x$歲，駱澄的鄰居王叔叔今年$y$歲，他們的年齡關係如下表所示。 $x$(歲) 1 2 3 4 $y$(歲) 40 41 42 43 請問$y$與$x$是否成正比？

解 我們計算${\frac {40}{1}}\neq {\frac {41}{2}}$，兩者並不相等，所以$y$與$x$不成正比。

在這個例子我們可以發現：雖然$x$在增加，$y$也在增加，但是$y$與$x$的關係卻不一定成正比。那如果$x$增加，$y$卻減少，$y$與$x$的關係就一定不成正比嗎？
隨堂練習
已知$x$與$y$的關係如下表所示。

$x$	5	6	7	8
$y$	－15	－18	－21	－24

請問$y$與$x$是否成正比？
我們在上面的隨堂練習發現，如果$y$與$x$的比值是負數的時候，$x$值增加，$y$值卻減少，但是$y$與$x$的關係依然成正比。

正比關係式的應用

如果已知$y$與$x$成正比，那我們能透過$x$值去計算$y$值嗎？答案是肯定的。反過來，我們也可以透過$y$值去計算$x$值，只要代入正比關係式$y=kx$，其中$k\neq 0$即可。另外也可以利用比例相同的原則來求值。

例題$3$ 已知$y$與$x$成正比，且當$x=5$時，$y=24$。則： $y$與$x$的關係式為何？ 當$y=-72$時，$x$值是多少？

解 設$y=kx$，將$x=5$，$y=24$代入可得$24=k\times 5$，解得$k={\frac {24}{5}}$，故$y$與$x$的關係式為$y={\frac {24}{5}}x$。 將$y=-72$代入關係式$y={\frac {24}{5}}x$中可得到$-72={\frac {24}{5}}x\Rightarrow x=-72\times {\frac {5}{24}}=-15$。

隨堂練習
已知$y$與$x$成正比，且當$x=4$時，$y=-7$。則：

1. $y$與$x$的關係式為何？
2. 當$x=12$時，$y$值是多少？
   

例題$3$的第2小題也可以用比例式來做： $5:24=x:(-72)\Rightarrow 24x=(-72)\times 5\Rightarrow x=(-3)\times 5=-15$。
最後做一個應用問題。

例題$4$ 在不違反彈性限度的條件下，彈簧的伸長量$x$公分與物體重量$y$公斤成正比。現有一條彈簧，這條彈簧的彈性限度是$10$公斤，若掛了一個$2$公斤的物體，彈簧拉長了$5$公分。 寫出$y$與$x$的關係式。 如果彈簧被拉長$16$公分，代表物體的重量是幾公斤？

解 設$y=kx$，將$x=5$，$y=2$代入可得$2=k\times 5$，解得$k={\frac {2}{5}}$，故$y$與$x$的關係式為$y={\frac {2}{5}}x$。 將$x=16$代入關係式$y={\frac {2}{5}}x$中可得到$y={\frac {2}{5}}\times 16={\frac {32}{5}}$(公斤)。

隨堂練習
某服飾店的衣服原價$x$元，打折之後的售價為$y$元，且$y$與$x$成正比，而且原本要價$4000$元的外套，現在的售價為$2800$元，則：

1. $y$與$x$的關係式為何？
2. 售價為$1260$元的洋裝，它的原價是多少元？
   

反比

那什麼是反比呢？

例題$5$ 有一個長方形的面積固定是$120$平方公分。 假設長方形的長為$x$公分，寬為$y$公分，列出$x$與$y$的關係式。 利用你列的關係式，完成下列表格。 $x$(公分) 1 2 3 4 $y$(公分) 120

解 因為面積$=$長$\times$寬，所以$x$與$y$的關係式為$120=xy$。 將$120=xy$的$x$分別以$2$、$3$、$4$代入，可以分別得到$y=60$、$y=40$、$y=30$，故列表如下： $x$(公分) 1 2 3 4 $y$(公分) 120 60 40 30

隨堂練習
曉晴帶$400$元到文具行買鉛筆，假設每支鉛筆$x$元，曉晴剛好可以買$y$枝。

1. 列出$x$與$y$的關係式。
2. 利用你列的關係式，完成下列表格。

價格$x$(元)	5	8	10	16
數量$y$(枝)

• 反比的概念是：若$x$值變為原本的$t$倍$(t\neq 0)$，$y$值會變為原本的${\frac {1}{t}}$倍，則我們稱$y$與$x$的關係成反比。
• 若$y$與$x$的關係成反比的時候，$xy$的乘積會固定下來，即我們可以找到一個常數$k\neq 0$，使得${\color {Red}xy=k}$恆成立。

 假設$x'=tx$，那麼對應的$y'={\frac {y}{t}}$，計算$x'y'=(tx)({\frac {y}{t}})=xy$，所以$xy$的乘積會固定下來。

• 把$xy=k$移項變成$y={\frac {k}{x}}=k({\frac {1}{x}})$，我們發現：$y$會和${\frac {1}{x}}$成正比。

接下來我們來練習判斷成反比的關係。

例題$6$ 已知白天有$x$小時，夜晚就有$y$小時，其關係如下表所示。 白天$x$(小時) 10 11 12 13 夜晚$y$(小時) 14 13 12 11 請問$y$與$x$是否成反比？

解 我們計算$10\times 14\neq 11\times 13$，兩者並不相等，所以$y$與$x$不成反比。

在這個例子我們可以發現：雖然$x$值增加時，$y$值在減少，但是$y$與$x$的關係卻不一定成反比。那如果$x$值增加，$y$值也增加，$y$與$x$的關係就一定不成反比嗎？
隨堂練習
已知$x$與$y$的關係如下表所示。

$x$	4	5	6	8
$y$	－60	－48	－40	－30

請問$y$與$x$是否成反比？
我們在上面的隨堂練習發現，如果$y$與$x$的乘積是負數的時候，$x$值增加，$y$值也會跟著增加，但是$y$與$x$的關係依然成反比。

反比關係式的應用

如果已知$y$與$x$成反比，那我們能透過$x$值去計算$y$值嗎？答案是肯定的。反過來，我們也可以透過$y$值去計算$x$值，只要代入反比關係式$xy=k$，其中$k\neq 0$即可。

例題$7$ 已知$y$與$x$成反比，且當$x=5$時，$y=24$。則： $y$與$x$的關係式為何？ 當$y=-72$時，$x$值是多少？

解 設$xy=k$，將$x=5$，$y=24$代入可得$k=5\times 24=120$，故$y$與$x$的關係式為$xy=120$。 將$y=-72$代入關係式$xy=120$中可得到$-72x=120\Rightarrow x=120\div (-72)=-{\frac {5}{3}}$。

隨堂練習
已知$y$與$x$成反比，且當$x=6$時，$y=-10$。則：

1. $y$與$x$的關係式為何？
2. 當$x=5$時，$y$值是多少？