平方數

平方數是可以排成正方形的數。

前幾個正方形數是（OEIS中的數列A000290）：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

性質

• 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。三個平方數的和無法表示形如 4^k(8m + 7) 的數。
• 在十進制中，平方數只能以 0，1，4，6，9 或 25 結尾：

1. 若一個數以 0 結尾，它的平方數以 0 結尾（除 0 外，其他數字的個位和十位數字都是 0 ），且00前面的數也是平方數（例如：0x0=0、10x10=100）
2. 若一個數以 1 或 9 結尾，它的平方數以 1 結尾，且前面的一位數字是偶數（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
3. 若一個數以 2 或 8 結尾，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字為偶數（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
4. 若一個數以 3 或 7 結尾，它的平方數以 9 結尾，且前面的一位數字是偶數（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
5. 若一個數以 4 或 6 結尾，它的平方數以 6 結尾，且前面的一位數字為奇數（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
6. 若一個數以 5 結尾，它的平方數以 25 結尾，且前面的一位或兩位數字必定為 0，2，06，56 之一，25前面的數是普洛尼克數（例如：5x5=25、15x15=225）

• 除了00以外，平方數末2位數若相同，必為44：如12²=144，38²=1444，62²=3844。
• 除了000以外，平方數末3位數若相同，必為444：如38²=1444，462²=213444。
• 除了0000以外，平方數末4位數不可能相同。
• 除了0以外，平方數不可能是普洛尼克數。
• 除了0以外，平方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
• 除了0，1，144以外，平方數不可能是費波那契數。
• 除了1跟4以外，平方數也不可能是盧卡斯數。
• 除了0，1，169以外，平方數不可能是佩爾數。
• 除了0，1，4，19600以外，平方數不可能是四面體數。
• 除了0，1，4900以外，平方數不可能是四角錐數。
• 平方數不可能是楔形數。
• 奇數的平方數一定是八的倍數加一。
• 平方數是模任何整數的二次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的二次剩餘，那麼她一定是平方數。
• 平方數的正因數總和(含自己)一定是奇數。
• 除了0跟1之外，4900是唯一的一個平方數，它剛好等於前幾個平方數的和。
• 正因數個數是奇數的數都是平方數，反之亦然。

參看

• 平方
• 立方數：平方數在立體的推廣
• 四次方數：平方數在四維空間的推廣
• 三角形數
• 三角平方數：同時為三角形數和平方數的數
• 多邊形數