微積分學/極限審斂法

極限審斂法

判斷斂散性的第一步是極限審斂法。

極限審斂法
若級數$S=\sum _n^{\mathrm{\infty }}{s}_n$滿足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n\ne 0$，則該級數一定發散。若極限為零，則需要進一步分析以確定級數斂散性。

例1

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+1}{n}$

解答：因為

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=1$

極限不為零，所以級數發散。

例2

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}$

解答：因為

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}=\frac{1}{3}$

極限不為零，所以級數發散。

例3

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{n^3}$

解答：因為

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+5n+6}{n^3}=0$

極限為零，所以需要進一步分析以確定級數斂散性。