微積分學/重積分/習題

定義

十一

$\int _{1}^{4}\int _{0}^{2}6x^{2}y-2x\,dydx$

十三

$\int _{0}^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\sin y\,dydx$

十五

$\int _{0}^{3}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x^{2}\sin ^{3}y\,dydx$

十七

$\iint _{R}x\sec ^{2}ydA,R=\{(x,y)|0\leq x\leq 2,0\leq y\leq {\frac {\pi }{4}}\}$

十九

$\iint _{R}x\sin(x+y)dA,R=\left[0,{\frac {\pi }{6}}\right]\times \left[0,{\frac {\pi }{3}}\right]$

廿三

求介於 4x+6y-2z=-15 下和 {(x,y)|-1≤x≤2,-1≤y≤1} 上體積。

廿五

求 z=1+e^xsiny、x=1、x=-1、y=0、y=π 和 z=0 所圍體積。

廿七

求 f(x,y)=xy 在頂點 (-1,0)、(-1,5)、(1,5) 和 (1,0) 所圍區域上的平均。

廿九

$\iint _{R}{\frac {xy}{1+x^{4}}}dA,R=\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}$

直角座標

十一

$\iint _{D}y^{2}dA$，D 是頂點 (0,1)、(1,2)、(4,1) 的三角形。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十三

求介於 y=x² 和 x=y² 所圍上，z=3x+2y 下體積。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十七

求第一象限 x²+y²=1、z=y、x=0 和 z=0 所圍體積。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十九

求 x²+y=1、x²-y=1、x+y+z=2 和 2x+2y-z=-10 所圍體積。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

廿一

求 $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}1-x-ydydx$ 畫圖。

廿五

求 $\int _{1}^{2}\int _{0}^{\ln }xf(x,y)dydx$ 畫圖。

廿七

${\begin{aligned}&\int _{1}^{2}\int _{0}^{\ln }xf(x,y)dydx\\&=\end{aligned}}$

廿九

$\iint _{D}x^{2}dA$

卌一

$\iint _{S}{\sqrt {4-x^{2}y^{2}}}dA,S=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1,x\geq 0\}$

卌三

求 f(x,y)=xy 在頂點 (0,0)、(1,0) 和 (1,3) 所圍區域上的平均。

代換法

十三

$\iint _{R}x-3ydA$，R 是頂點 (0,0)、(4,3)、(2,4) 的三角形，x=2u+v，y=u+2v。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十五

$\iint _{R}xydA$，R 是第一象限 y=x、y=3x、xy=1 和 xy=3 所圍區域，$x={\frac {u}{v}}\;,\;y=v$。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十七

$\iint _{R}{\frac {x-2y}{3x-y}}dA$，R 是 x-2y=0、x-2y=4、3x-y=1 和 3x-y=8 所圍區域。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十九

$\iint _{R}\cos {\frac {-x+y}{x+y}}dA$，R 是頂點 (1.0)、(2,0)、(0,2) 和 (0,1) 所圍區域。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

廿一

$\iint _{R}e^{x+y}dA$，R 是 $|x|+|y|\leq 1$ 所圍區域。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

極座標

七

$\iiint _{D}x^{2}ydA$，D 是中心在原點，半徑 5 的上半圓盤。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

九

$\iiint _{D}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dA$，D 是 $x={\sqrt {4-y^{2}}}$ 和 y 軸所圍區域。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十三

求介於 z=x²+y² 下和圓盤 x²+y²=25 上體積。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十七

求介於x²+y²=4 內和 4x²+y²)+z²=64 體積。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

十九

${\begin{aligned}&\int _{0}^{2}\int _{0}^{\sqrt {4-x^{2}}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dydx\\&=\end{aligned}}$

廿一

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\frac {1}{2}}\int _{{\sqrt {3}}y}^{\sqrt {1-y^{2}}}x^{2}ydxdy\\&=\end{aligned}}$

廿三

$\iint _{D}e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}dA$，D 是中心在原點，半徑 1 的圓盤。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

三十

一

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dA\\&=\end{aligned}}$

二

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\\&=\end{aligned}}$

三

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\\&=\end{aligned}}$

四

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}dx\\&=\end{aligned}}$