數理統計/假設檢驗基礎

數理統計/假設檢驗基礎

學習目標

目標項	內容
假設框架	原假設、備擇假設、檢驗統計量、拒絕域
錯誤類型	第一類錯誤、第二類錯誤、檢驗功效
常見檢驗	均值、方差、比例與兩樣本檢驗

側重能力	說明
構造統計量	使用樞軸量或似然比
控制顯著性	給定 $\alpha$ 設計拒絕域
計算功效	評估樣本量與效應大小

常見誤區	對策
把 p 值當成原假設為真的概率	解釋為在原假設下的數據極端度
僅看顯著不看效應與區間	同時報效應大小與置信區間
多重比較未校正	採用校正或預註冊

基本概念

假設

原假設 $H_{0}$ 與備擇 $H_{1}$。選擇顯著性水平 $\alpha$ 與檢驗統計量 $T(X)$，定義拒絕域 $R$。

p 值

在 $H_{0}$ 為真時，觀測到不少於當前極端的統計量的概率。若 $p\leq \alpha$，拒絕 $H_{0}$。

概念	記號	含義
第一類錯誤	$\alpha$	拒真
第二類錯誤	$\beta$	受假
功效	$1-\beta$	拒假成功概率

結果呈現	規範	提示
p 值	精確或閾值（如 < 0.05）	給出方法與雙/單側
效應大小	差值/比值/標準化量	結合置信區間
前提條件	分布、獨立、方差同質等	必要時穩健替代

單總體檢驗

均值（方差已知，正態或大樣本）

$Z={\dfrac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$，雙側拒絕域 $|Z|>z_{1-\alpha /2}$。

均值（方差未知，正態）

$T={\dfrac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$，雙側拒絕域 $|T|>t_{n-1,1-\alpha /2}$。

方差（正態）

${\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma _{0}^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$，按單/雙側給出拒絕域。

比例（大樣本）

${\hat {p}}=Y/n$，$Z={\dfrac {{\hat {p}}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})/n}}}$。

目標	統計量	分布	備註
均值-已知方差	$Z$	正態	亦作近似
均值-未知方差	$T$	$t$	正態前提
方差	比例化 $\chi ^{2}$	$\chi ^{2}$	正態前提
比例	$Z$	正態近似	樣本量要求

兩總體檢驗

兩均值差

方差相等時用合併方差 t；不等方差時用不等方差 t（自由度近似）。

兩方差比

$F={\dfrac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}\sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$，據單/雙側設拒絕域。

兩比例差

${\hat {d}}={\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}$，大樣本下 $Z={\dfrac {\hat {d}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})({\tfrac {1}{n_{1}}}+{\tfrac {1}{n_{2}}})}}}$，其中 ${\hat {p}}$ 為合併比例（用於原假設 $p_{1}=p_{2}$）。

目標	條件	統計量/分布
均值差	正態/大樣本；獨立	t 檢驗
方差比	正態；獨立	F 檢驗
比例差	樣本量適中偏大	Z 檢驗（合併比例）

p 值與功效

p 值計算

根據檢驗統計量在 $H_{0}$ 下的分布計算尾部概率，雙側需乘以 2 或對稱處理。

功效分析

給定效應大小與樣本量，計算 $1-\beta$；反過來可據目標功效求所需樣本量。

要素	作用	提示
效應大小	決定功效	標準化差/比值
樣本量	提升功效	代價與可行性
顯著性	控制一類錯	常見 0.05/0.01

決策與報告

同時報告 p 值、效應大小與置信區間，說明假設與方法。避免「僅顯著」的結論。

報告項	示例（範式）	說明
統計量與自由度	$t(58)=2.15$	明確分布信息
p 值	$p=0.036$	精確或閾值
區間	95% 區間：$[L,U]$	與顯著性互證

章節測驗

單選題一

下列哪種說法正確？

1. p 值等於原假設為真的概率
2. 若 $p=0.03$ 且 $\alpha =0.05$，應拒絕 $H_{0}$
3. p 值越大越說明備擇為真
4. 只要樣本大就一定顯著

顯示答案/解析

答案：2。p 值是數據在 $H_{0}$ 下的極端度量。

單選題二

比較兩總體方差常用統計量是：

1. $t$
2. $F$
3. $z$
4. $\chi ^{2}$

顯示答案/解析

答案：2。

計算題

某單樣本 t 檢驗，$n=25$，${\bar {X}}=5.2$，$\mu _{0}=5$，$S=1$，求雙側檢驗的統計量與是否在 $\alpha =0.05$ 下拒絕。

顯示答案/解析

解：$t={\dfrac {5.2-5}{1/{\sqrt {25}}}}=1.0$，自由度 24；臨界值 $t_{24,0.975}\approx 2.064$，不拒絕 $H_{0}$。

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