數理統計/區間估計

數理統計/區間估計

學習目標

目標項	內容
區間估計概念	置信區間、置信水平、樞軸量
常見參數	均值、方差、比例與兩樣本差
方法選擇	正態/t/卡方/F 及大樣本近似

側重能力	說明
構造樞軸量	用分布不含未知參數的統計量
選用分位點	結合樣本量與分布假設
報告規範	區間+置信度+前提條件

常見誤區	對策
將置信度當作參數真值概率	強調長期覆蓋率含義
忽視正態性/獨立性假設	明確條件或改用穩健/近似
盲目雙側	按問題需求選單側或雙側

基本概念

置信區間

對參數 $\theta$ 給出隨機區間 $[L(X),U(X)]$，使 $P_{\theta }\{L(X)\leq \theta \leq U(X)\}=1-\alpha$。

樞軸量

找到與 $\theta$ 無關分布的 $Q(X,\theta )$，用其分位點反解獲得區間。

元素	記號	含義
置信水平	$1-\alpha$	長期覆蓋率
下上限	$L(X),U(X)$	由樣本計算
樞軸量	$Q(X,\theta )$	已知分布

置信度	雙側分位點（示例）	備註
90%	$z_{0.95},t_{n-1,0.95}$	大樣本或t
95%	$z_{0.975},t_{n-1,0.975}$	常用標準
99%	$z_{0.995},t_{n-1,0.995}$	更寬

輸出要素	規範寫法	注意
區間	$[L,U]$	單位/精度
置信水平	例如 95%	明前提
方法說明	正態/t/卡方/F/近似	列出假設

單總體均值的區間

方差已知（正態）

${\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$，$Z={\dfrac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$。

$\mu$ 的 $1-\alpha$ 區間：$\left[{\bar {X}}-z_{1-\alpha /2}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}},\ {\bar {X}}+z_{1-\alpha /2}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$。

方差未知（正態）

$T={\dfrac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$。

區間：$\left[{\bar {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}},\ {\bar {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}\right]$。

情形	樞軸量	區間
$\sigma ^{2}$ 已知	$Z$	基於 $z$ 分位
$\sigma ^{2}$ 未知	$T$	基於 $t$ 分位

單總體方差的區間（正態）

${\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$。

$\sigma ^{2}$ 的 $1-\alpha$ 區間：

$\left[{\dfrac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}},\ {\dfrac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}\right]$。

參數	樞軸量	分布	備註
$\sigma ^{2}$	$(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}$	$\chi _{n-1}^{2}$	正態前提

單總體比例的區間

正態近似

${\hat {p}}=Y/n$，當 $n{\hat {p}}(1-{\hat {p}})$ 足夠大：

$\left[{\hat {p}}-z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}},\ {\hat {p}}+z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\right]$。

Wilson 區間（改進近似）

${\dfrac {{\hat {p}}+{\dfrac {z^{2}}{2n}}\pm z{\sqrt {{\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}+{\dfrac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\dfrac {z^{2}}{n}}}}$，其中 $z=z_{1-\alpha /2}$。

方法	區間寬度	覆蓋表現
正態近似	較簡單	極端比例時偏差大
Wilson	略複雜	覆蓋更穩健

兩總體比較

兩均值差（方差未知，正態且獨立）

方差相等時用合併方差 t；方差不等時用不等方差 t（自由度近似）。

兩比例差（大樣本）

${\hat {d}}={\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}$，區間近似：

${\hat {d}}\pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\dfrac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}}$。

目標	條件	提示
均值差	正態/大樣本；獨立	方差是否相等需判定
比例差	樣本量適中偏大	也可用改進近似

單側區間

需要給出下限或上限形式，例如 $(-\infty ,U]$ 或 $[L,\infty )$，分位點改用單側。

目標	單側形式	說明
均值上限	${\bar {X}}+z_{1-\alpha }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$	控制超標風險
比例下限	Wilson 單側	更穩健

章節測驗

單選題一

下列哪項陳述正確？

1. 95%置信區間表示參數有95%的概率落入本次區間
2. 95%置信區間表示構造方法的長期覆蓋率為95%
3. 95%置信區間一定比90%更窄
4. 置信區間不依賴樣本量

顯示答案/解析

答案：2。置信度是方法的長期覆蓋率；區間寬度受置信度與樣本量影響。

單選題二

當總體正態且方差未知時估計均值，適合使用：

1. z 區間
2. t 區間
3. 卡方區間
4. F 區間

顯示答案/解析

答案：2。

計算題

某樣本 $n=100$，${\bar {X}}=10$，$S=2$，求均值的95%區間（用 z 近似）。

顯示答案/解析

解：$10\pm 1.96\times 2/{\sqrt {100}}=10\pm 0.392$，即 $[9.608,10.392]$。

跨章導航

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