流體力學/應力與構成關係（牛頓流體與非牛頓）

應力與構成關係（牛頓流體與非牛頓）

本頁屬於《流體力學》一書的內容頁面，題名為「應力與構成關係（牛頓流體與非牛頓）」。本頁介紹流體中的應力分解、牛頓流體的本構（構成）關係，以及常見的非牛頓流體模型，為後續推導納維–斯托克斯方程及高階流變模型奠定基礎。

1. 流體中的應力張量

在連續介質力學中，任意一點的應力可由一個二階張量表示，通常記作 ${\boldsymbol {\sigma }}$。若在該點取一個具有單位法向量 ${\boldsymbol {n}}$ 的微小面積，作用在該面積上的應力向量（牽引）${\boldsymbol {t}}$ 為 ${\boldsymbol {t}}={\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {n}}$。

在笛卡爾坐標系中， ${\boldsymbol {\sigma }}$ 可寫作矩陣形式： ${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}.$

對於各向同性的連續介質，在沒有體偶力且滿足角動量守恆的條件下，應力張量為對稱張量，即 $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$。

2. 應力的分解：壓力與粘性應力

在流體中，通常將總應力分解為各向同性的靜壓力部分與偏應力（粘性應力）部分： ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\,{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {\tau }},$ 其中

• $p$ 為熱力學壓力（或平均正應力）；
• ${\boldsymbol {I}}$ 為單位張量；
• ${\boldsymbol {\tau }}$ 為偏離各向同性的粘性應力張量，又稱剪應力張量或偏應力張量。

在不可壓縮流體中，$p$ 常作為獨立未知量通過連續性方程與動量方程共同求解；而 ${\boldsymbol {\tau }}$ 則由流體的構成關係給出，即「應力如何隨形變和其變化率而變化」的經驗或理論公式。

3. 速度梯度與形變率張量

設流體速度場為 ${\boldsymbol {v}}=(u,v,w)$，則速度梯度張量定義為 $\nabla {\boldsymbol {v}}={\begin{bmatrix}\partial u/\partial x&\partial u/\partial y&\partial u/\partial z\\\partial v/\partial x&\partial v/\partial y&\partial v/\partial z\\\partial w/\partial x&\partial w/\partial y&\partial w/\partial z\end{bmatrix}}.$

將速度梯度分解為對稱部分與反對稱部分：

• 對稱部分（形變率張量）${\boldsymbol {D}}$：

 ${\boldsymbol {D}}={\frac {1}{2}}\left(\nabla {\boldsymbol {v}}+(\nabla {\boldsymbol {v}})^{\mathrm {T} }\right),$
 描述的是微团块的拉伸与剪切形变速率。

• 反對稱部分（自旋張量）${\boldsymbol {W}}$：

 ${\boldsymbol {W}}={\frac {1}{2}}\left(\nabla {\boldsymbol {v}}-(\nabla {\boldsymbol {v}})^{\mathrm {T} }\right),$
 对应局部刚体旋转。

在大多數經典流體力學問題中，粘性應力只與 ${\boldsymbol {D}}$ 有關，與純剛體旋轉無關；這是牛頓流體假設的一個重要出發點。

4. 牛頓流體的本構關係

4.1 牛頓流體假設

牛頓流體（Newtonian fluid）指的是滿足以下假設的流體：

1. 各向同性：材料性質與方向無關；
2. 粘性應力僅取決於局部形變率張量 ${\boldsymbol {D}}$，與其歷史無關；
3. 粘性應力與形變率之間為線性關係。

在這些假設下，粘性應力張量可寫為： ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \,{\boldsymbol {D}}+\lambda \,(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {I}},$ 其中

• $\mu$ 為剪切粘度（動態粘度）；
• $\lambda$ 為體積粘度係數；
• $\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}$ 為速度散度。

對不可壓縮流體（$\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$），上式簡化為 ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \,{\boldsymbol {D}}.$

將其寫成分量形式（以笛卡爾坐標為例）為： $\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\quad (i,j=1,2,3).$

4.2 經典例子：平板間剪切流

考慮兩塊無限大平板，中間充滿牛頓流體。下平板靜止，上平板以速度 $U$ 沿 $x$ 方向勻速運動。設間距為 $h$，穩態、不可壓縮、無壓差驅動。此時速度分布為線性： $u(y)={\frac {U}{h}}y,\quad v=w=0.$

相應的非零形變率分量為： $D_{xy}=D_{yx}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {1}{2}}{\frac {U}{h}}.$

牛頓流體本構關係給出剪應力： $\tau _{xy}=\tau _{yx}=2\mu D_{xy}=\mu {\frac {U}{h}}.$

這就是通常實驗中測量粘度的基礎：在已知剪切速率 ${\dot {\gamma }}={\frac {U}{h}}$ 下，測量剪應力 $\tau$，即可得到 $\mu ={\frac {\tau }{\dot {\gamma }}}$。

5. 非牛頓流體概述

許多實際流體（如高分子溶液、油墨、泥漿、血液等）不能用簡單的線性關係描述，它們被統稱為非牛頓流體（Non-Newtonian fluids）。與牛頓流體相比，非牛頓流體具有以下典型特徵之一或更多：

• 粘度依賴於剪切速率（剪切變稀、剪切增稠）；
• 存在屈服應力（低於一定應力時類似固體，高於時開始流動）；
• 應力與形變率存在明顯的時間滯後，呈現粘彈性行為；
• 出現法向應力差，導致如「羅德爬升效應」等現象。

下面簡要介紹幾類常見的非牛頓模型。

6. 常見非牛頓流體模型

6.1 廣義牛頓流體

廣義牛頓（generalized Newtonian）流體保持 ${\boldsymbol {\tau }}$ 與 ${\boldsymbol {D}}$ 的瞬時關係，但係數為形變率的非線性函數。最簡單的形式是將剪切粘度視為剪切速率的函數： ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu ({\dot {\gamma }})\,{\boldsymbol {D}},$ 其中 ${\dot {\gamma }}$ 為某種剪切速率的標量度量，例如 ${\dot {\gamma }}={\sqrt {2\,{\boldsymbol {D}}:{\boldsymbol {D}}}},$ 「$:$」表示雙重內積。

常見經驗模型包括：

冪律流體（power-law fluid）

冪律流體是廣義牛頓流體的一種常見經驗模型，其剪切應力與剪切速率滿足關係： $\tau =K,{\dot {\gamma }}^{n},$ 其中 $K$ 為稠度係數，$n$ 為流動指數。根據 $n$ 的取值，流體表現為：

$n<1$：剪切變稀（如某些高分子溶液）； $n=1$：退化為牛頓流體； $n>1$：剪切增稠（如某些濃懸浮液）。

6.2 屈服應力型流體

某些流體（如牙膏、泥漿）在低應力下表現為似固體，只有當剪應力超過某一臨界值時才發生流動。典型模型為賓漢（Bingham）塑性流體： $\tau ={\begin{cases}0,&{\text{若 }}|\tau |\leq \tau _{y},\\\tau _{y}+\mu _{p}\,{\dot {\gamma }},&{\text{若 }}|\tau |>\tau _{y},\end{cases}}$ 其中

• $\tau _{y}$ 為屈服應力；
• $\mu _{p}$ 為塑性粘度。

此類模型常在工程流動（漿體輸送、泥石流等）中出現。

6.3 粘彈性流體（簡介）

粘彈性流體同時具有粘性與彈性特徵：在短時間加載時表現為彈性，在長時間或高應變下表現為粘流。完整的粘彈性本構方程通常為張量形式、涉及應力的時間導數和流動歷史，這裡僅給出一個典型的線性例子——麥克斯韋（Maxwell）模型的一維形式： $\lambda {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}+\tau =\mu \,{\dot {\gamma }},$ 其中

• $\lambda$ 為鬆弛時間；
• $\mu$ 為粘度。

更完整的粘彈性模型（如 Oldroyd-B 模型）將在更高階的流變學章節中介紹。

7. 牛頓與非牛頓流體的對比總結

為便於學習，可將牛頓流體與典型非牛頓流體的主要差異概括如下：

1. 本構關係形式
   • 牛頓：${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {D}}$，$\mu$ 為常數；
   • 非牛頓：$\mu$ 為 ${\dot {\gamma }}$ 的函數，甚至應力含時間導數。
2. 粘度隨剪切速率變化
   • 牛頓：與剪切速率無關；
   • 非牛頓：可能剪切變稀或增稠。
3. 時間效應
   • 牛頓：無記憶效應，當下應力只取決於當下形變率；
   • 粘彈性非牛頓：應力與流動歷史有關。
4. 數學處理難度
   • 牛頓：得到經典的納維–斯托克斯方程，研究較成熟；
   • 非牛頓：本構關係複雜，往往需要數值方法與實驗共同研究。

8. 小結與後續內容

本頁從應力張量的基本概念出發，介紹了：

• 總應力分解為壓力與粘性應力；
• 速度梯度與形變率張量 ${\boldsymbol {D}}$ 的定義；
• 牛頓流體的線性本構關係及典型剪切流例子；
• 幾類常見非牛頓流體及其經驗模型。

在後續章節中，將在質量守恆與動量守恆方程的基礎上，引入本頁所述的本構關係，推導適用於牛頓流體的納維–斯托克斯方程，並簡要討論如何將上述非牛頓模型代入，以處理更複雜的流動問題。