等離子物理學/等離子體中的基本方程

宏觀守恆方程（單/雙流體骨架）

• 質量守恆：${\frac {\partial n_{s}}{\partial t}}+\nabla \cdot (n_{s}\mathbf {u} _{s})=S_{s}$
• 動量方程：$m_{s}n_{s}\left({\frac {\partial \mathbf {u} _{s}}{\partial t}}+\mathbf {u} _{s}\cdot \nabla \mathbf {u} _{s}\right)=q_{s}n_{s}(\mathbf {E} +\mathbf {u} _{s}\times \mathbf {B} )-\nabla p_{s}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\Pi }}_{s}+\mathbf {R} _{s}$
• 能量方程（示意）：${\frac {\partial \varepsilon _{s}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\varepsilon _{s}\mathbf {u} _{s}+\mathbf {q} _{s}\right)=\mathbf {J} _{s}\cdot \mathbf {E} -{\boldsymbol {\Pi }}_{s}:\nabla \mathbf {u} _{s}+Q_{s}$

電磁場方程（麥克斯韋組）

• $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
• $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• $\nabla \times \mathbf {E} =-\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
• $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

閉合關係與常見近似

• 等溫：$p_{s}=n_{s}k_{B}T_{s}$（$T_{s}$ 常數）
• 絕熱：$p_{s}\propto n_{s}^{\gamma }$，$\gamma$ 取決於自由度
• 准中性：$n_{e}\approx \sum _{i}Z_{i}n_{i}$
• 低頻MHD：忽略位移電流，$\nabla \times \mathbf {B} \approx \mu _{0}\mathbf {J}$
• 廣義歐姆定律（示意）：$\mathbf {E} +\mathbf {u} _{e}\times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} -{\frac {1}{en_{e}}}\nabla p_{e}-{\frac {m_{e}}{e}}{\frac {d\mathbf {u} _{e}}{dt}}$

小練習

1. 用低頻近似推導理想MHD感應方程：${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )-\nabla \times (\eta \nabla \times \mathbf {B} )$
2. 在准中性與等溫條件下，給出離子聲速 $c_{s}$ 的表達式
3. 在一維穩態下，寫出質量與動量守恆的積分形式