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功與功率

• 功定義：力對位移做的標量積，$W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$；恆力沿直線：$W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r}$。

• 功率：做功速率，瞬時功率 $P={\dfrac {dW}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$；平均功率 ${\bar {P}}={\dfrac {\Delta W}{\Delta t}}$。

• 正/負功：$\mathbf {F}$ 與 $d\mathbf {r}$ 同向為正功，反向為負功；摩擦與阻力通常做負功。

• 功-能定理：質點 $\Delta K=W_{\text{合}}$，其中 $K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$。

• 曲線運動：若 $\mathbf {F}$ 與速度垂直，則 $P=0$，如勻速圓周中的向心力不做功。

典型計算

1. 變力沿 x 方向：$W=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,dx$
2. 彈簧力：$W=\int -kx\,dx=-{\tfrac {1}{2}}k(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})$
3. 提升重物：$W_{g}=-mg(h_{2}-h_{1})$，外力做功 $+mg(h_{2}-h_{1})$