經典力學/勒讓德變換與哈密頓量

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勒讓德變換與哈密頓量

• 從拉格朗日到哈密頓：定義廣義動量 $p_{j}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$。若速度到動量的映射可逆（正則性），可做勒讓德變換得到哈密頓量 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$。

• 正則性條件：要求拉格朗日函數關於速度的海森矩陣 $\left[{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial {\dot {q}}_{j}}}\right]$ 非奇異，以保證 ${\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ 可由 $\mathbf {p}$ 唯一確定。

• 物理意義：保守系統中 $H$ 等於總能量 $K+U$；非保守或顯含時間時 $H$ 非必然守恆。

• 示例（質點-彈簧）：$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}kx^{2}$，$p=m{\dot {x}}$，$H={\dfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kx^{2}$。

• 坐標變換下的不變性：勒讓德過程依賴於速度—動量的對偶關係；在平滑坐標變換下構型與相空間的幾何結構保持相容。

練習

1. 對一般的$L={\tfrac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\top }\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}-U(\mathbf {q} )$，推導$\mathbf {p} =\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}$與$H={\tfrac {1}{2}}\mathbf {p} ^{\top }\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {p} +U(\mathbf {q} )$。
2. 給出一個非正則拉格朗日（如$L={\tfrac {1}{2}}m({\dot {x}}-\alpha x)^{2}$的奇異極限）並討論正則性失敗的後果。