經典力學/參考系與坐標

參考系規定了我們如何標記空間與時間，從而使粒子的位置、速度與加速度成為可定義的量；坐標系則是在給定參考系內用於描述位置的具體變量集合。在經典力學中，通常將兩層概念分開：

參考系的性質（慣性或非慣性）；
在該參考系內選用的坐標（笛卡爾、極坐標、球坐標、廣義坐標等）。

慣性系與非慣性系

慣性參考系是指自由粒子做勻速直線運動的參考系： $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ 。相對於某一慣性系以恆定速度運動的任意參考系仍為慣性系（伽利略相對性原理）。相對於慣性系存在加速或轉動的參考系是非慣性系。為了在非慣性系中保持牛頓第二定律 $\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 的形式，需要引入「慣性力」（虛擬力）。

當參考系具有角速度 ${\boldsymbol {\Omega }}$ 與平動加速度 $\mathbf {A}$ 時，常見的慣性力包括：

平動慣性力： $\mathbf {F} _{\text{trans}}=-m\,\mathbf {A}$ 。
向心/離心項： $\mathbf {F} _{\text{cf}}=-m\,{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$ 。
科里奧利力： $\mathbf {F} _{\text{cor}}=-2m\,{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v}$ 。
歐拉力（角速度隨時間變化）： $\mathbf {F} _{\text{eu}}=-m\,{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\times \mathbf {r}$ 。

伽利略變換

在兩個慣性系 $S$ 與 $S'$ 之間，若 $S'$ 相對 $S$ 以恆速 $\mathbf {V}$ 運動，則有

位置： $\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {V} t$ 。
速度： $\mathbf {v} '=\mathbf {v} -\mathbf {V}$ 。
加速度： $\mathbf {a} '=\mathbf {a}$ 。

這些關係在非相對論速度範圍內保持牛頓定律形式不變。

二維與三維中的常用坐標

坐標選擇取決於問題的對稱性與計算便利性。

笛卡爾坐標（3D）： $(x,y,z)$ ，基矢 ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ 恆定，適合直線、平面與各向同性場的局部分析。
平面極坐標（2D）： $(r,\theta )$ ， $\mathbf {r} =r\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$ ，速度 $\mathbf {v} ={\dot {r}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$ ，加速度包含徑向與切向項： $\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$ 。適合中心力問題與圓周/螺旋運動。
球坐標（3D）： $(r,\theta ,\phi )$ （物理常用 $\theta$ 為極角， $\phi$ 為方位角）。適合球對稱勢與輻射型問題。
圓柱坐標（3D）： $(\rho ,\phi ,z)$ ，適合軸對稱問題（如圓柱殼、渦旋流動）。

廣義坐標與約束的動坐標

在含約束系統中，自由度減少且自然坐標未必最簡。廣義坐標 $q_{i}$ 可根據幾何或對稱性選擇，使約束被內化，動力學更簡潔。位置矢量寫作 $\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\dots ,q_{n},t)$ ，速度為 $\mathbf {v} =\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}+\partial \mathbf {r} /\partial t$ 。這為拉格朗日與哈密頓表述奠定基礎。

選擇坐標的小建議

先看對稱性：球對稱→球坐標；軸對稱→圓柱坐標；中心力→極/球坐標。
再看邊界：直線/平面邊界偏好笛卡爾；圓環/圓柱邊界偏好圓柱。
若存在整體幾何約束，優先考慮廣義坐標以簡化約束處理。