經典力學/多自由度小振動與本徵模

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多自由度小振動與本徵模

• 線性化：在平衡附近將勢能二階展開，得到 $\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}+\mathbf {K} \mathbf {q} =\mathbf {0}$，其中 $\mathbf {q}$ 為廣義坐標，$\mathbf {M}$ 質量矩陣，$\mathbf {K}$ 勢剛度矩陣。

• 本徵問題：設 $\mathbf {q} (t)={\boldsymbol {\phi }}e^{i\omega t}$，得廣義特徵方程 $(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$，頻率為本徵值、模態形狀為本徵向量。

• 正交性與歸一化：不同模態滿足 ${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{j}=0$（$i\neq j$）；常用質量歸一化 ${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{i}=1$。

• 模態疊加：通解為各模態獨立疊加；受迫時每個模態可獨立受力並在其共振頻率附近響應顯著。

• 簡例：二質點、三彈簧系統給出兩模態：同相與反相；頻率由端點與中間彈簧剛度共同決定。

練習

1. 寫出二質點三彈簧系統的$\mathbf {M} ,\mathbf {K}$，並求解本徵頻率與本徵向量。
2. 說明質量歸一化與單位最大位移歸一化的區別，並各自適用場景。